Notes sur la fonction uniforme continue, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la fonction uniforme continue, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur la fonction uniforme continue. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation, la fonction de répartition, la formule de Huyghens, exemple, la démonstration, la fonction triangulai...
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Fonction uniforme continue.

Soient . Nous définissons la fonction de distribution de la "fonction uniforme" (ou "loi

uniforme") par la relation :

(7.344)

Nous avons donc pour fonction de répartition:

Il s'agit bien d'une fonction de distribution car elle vérifie (intégrale simple) :

(7.345)

La fonction uniforme a par ailleurs pour espérance (moyenne) :

(7.346)

et pour variance en utilisant la formule de Huyghens :

(7.347)

signifie qu'en dehors du domaine de définition [a,b] la fonction de distribution est nulle.

Nous retrouverons ce type de notation dans certaines autres fonctions de distribution.

Exemple:

Tracé de la fonction de distribution et respectivement de répartition pour la loi Uniforme de

paramètres :

(7.348)

Remarque: Cette fonction est souvent utilisée en simulation dans les entreprises pour signaler que la

variable aléatoire a des probabilités égales d'avoir une valeur comprise dans un certain intervalle

(typiquement dans les rendements de portefeuilles ou encore dans l'estimation des durées des

projets). Le meilleur exemple d'application étant à nouveau le logiciel CrystalBall ou @Risk qui

s'intègre dans MS Project.

Voyons un résultat intéressant de la loi Uniforme continue (et qui s'applique à la discrète aussi en

fait...).

Souvent j'entends des gestionnaires (qui se jugent de haut niveau) dire que comme une mesure à

une probabilité égale d'avoir lieu dans un intervalle fermé donné, alors la somme de deux

variables aléatoires indépendantes du même type aussi!

Or nous allons démontrer ici que ce n'est pas (si quelqu'un a une démonstration plus élégante je

suis preneur)!

Démonstration:

Considérons deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivante une loi uniforme dans un

intervalle fermé [0,a]. Nous cherchons donc la densité de leur somme qui sera notée:

(7.349)

Nous avons alors:

(7.350)

avec la variable:

(7.351)

Pour calculer la loi de la somme, rappelons que nous savons qu'en termes discrets cela équivaut

faire le produit conjoint des probabilités (cf. chapitre de Probabilités) d'apparition des deux

variables continues (se rappeler le même genre de calcul sous forme discrète!)

C'est-à-dire:

(7.352)

Comme si et sinon 0 alors le produit de convolution précédent se réduit à:

(7.353)

L'intégrant vaut par définition 0 sauf lorsque par construction où il vaut alors 1.

Intéressons nous alors aux bornes de l'intégrale dans ce dernier cas qui est bien évidemment le

seul qui est intéressant....

Faisons d'abord un changement de variables en posant:

(7.354)

d'où:

(7.355)

L'intégrale s'écrit alors dans alors dans cet intervalle après ce changement de variable:

(7.356)

En se rappelant comme vu au début que , alors nous avons immédiatement

si et que l'intégrale est nulle.

Nous allons considérer deux cas pour cet intervalle car la convolution de ces deux fonctions

rectangulaires peuvent se distingueront à la situation où dans un premier temps elles se croisent

(s'emboîtent), c'est-à-dire où , et ensuite s'éloignent l'une de l'autre, c'est-à-

dire .

- Dans le premier cas (emboîtement) où :

(7.357)

où nous avons changé la borne inférieure à 0 car de toute façon est nulle pour toute valeur

négative (et lorsque , est justement négatif ou nul!).

- Dans le deuxième cas (déboîtement) où :

(7.358)

où nous avons changé la borne supérieur à a car de toute façon est nulle pour toute valeur

supérieure (et lorsque , z est justement plus grand que a).

Donc au final, nous avons:

(7.359)

C.Q.F.D.

Il s'agit d'un cas particulier, volontairement simplifié, de la loi triangulaire que nous allons voir de

suite.

Ce résultat (qui peut sembler contre intuitif) se vérifie en quelques secondes avec un tableur

comme MS Excel en utilisant la fonction ALEA.ENTRE.BORNES( ) et la fonction FREQUENCE( ).

4.11. FONCTION TRIANGULAIRE

Soit . Nous définissons la "fonction triangulaire" (ou "loi triangulaire") par construction

selon les deux fonctions de distribution suivantes:

(7.360)

où a est souvent assimilé à la valeur optimiste, c la valeur attendue (le mode) et b la valeur

pessimiste.

C'est effectivement la seule manière de l'écrire si le lecteur garde à l'esprit que le triangle de

base c-a doit avoir une hauteur h valant 2/(c-a) telle que sa surface totale soit égale à l'unité

(nous allons de suite le montrer).

Exemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction triangulaire de paramètres

(a,c,b)=(0,3,5):

(7.361)

La pente de la première droite (croissante de gauche) est donc bien évidemment:

(7.362)

et la pente de la deuxième droite (décroissante à droite):

(7.363)

Cette fonction est une fonction de distribution si elle vérifie:

(7.364)

Il s'agit dans ce cas de l'aire du triangle qui rappelons-le est simplement la base multipliée par la

hauteur le tout divisé par 2 (cf. chapitre sur les Formes Géométriques):

= 1 (7.365)

Remarque: Cette fonction est beaucoup utilisée en gestion de projet dans le cadre de l'estimation

des durées des tâches ou encore en simulations industrielles. La valeur a correspondant à la valeur

optimiste, la valeur c à la valeur attendue (mode) et la valeur b à la valeur pessimiste. Le meilleur

exemple d'application étant à nouveau le logiciel CrystalBall ou @Risk qui s'intègre dans MS

Project.

La fonction triangulaire a par ailleurs une espérance (moyenne) :

(7.366)

et pour variance :

(7.367)

on remplace par l'expression obtenue précédemment et on simplifie (c'est de l'algèbre

élémentaire pénible...) :

(7.368)

Nous pouvons montrer que la somme de deux variables aléatoires indépendantes chacune de loi

uniforme sur [a,b] suit une loi uniforme sur [2a,2b] mais si elles n'ont pas les mêmes bornes, alors

leur somme donne une loi triangulaire.

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