Notes sur la fonctions de distributions, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la fonctions de distributions, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur la fonctions de distributions. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: "l'étendue de la distribution", définitions, la fonction discrète uniforme, exemple.
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Fonctions de distributions.

Lorsque nous observons des phénomènes probabilistes, et que nous prenons note des valeurs

prises par ces derniers et que nous les reportons graphiquement, nous observons toujours que les

différentes mesures obtenues suivent une caractéristique courbe ou droite typique fréquemment

reproductible.

Dans le domaine des probabilités et statistiques, nous appelons ces caractéristiques des "fonctions

de distribution" car elles indiquent la fréquence avec laquelle la variable aléatoire apparaît avec

certaines valeurs.

Remarque: Nous utilisons aussi simplement le terme "fonction" ou encore "loi" pour désigner ces

caractéristiques.

Ces fonctions sont en pratique bornées par ce que nous appelons "l'étendue de la distribution", ou

"dispersion de la distribution", qui correspond à la différence entre la donnée maximale (à droite)

et la donnée minimale (à gauche) des valeurs observées :

(7.159)

Si les valeurs observées se distribuent d'une certaine manière c'est qu'elles ont alors une

probabilité d'avoir une certaine valeur de la fonction de distribution.

Dans la pratique industrielle (cf. chapitre de Génie Industriel), la dispersions de valeurs statistiques

est important parce qu'elle donne une indication sur la vairation d'un processus (variablité).

Définitions:

D1. La relation mathématique qui donne la probabilité qu'a une variable aléatoire d'avoir une

valeur donnée de la fonction de distribution est appelée "fonction de densité", "fonction de masse"

ou encore "fonction marginale".

D2. La relation mathématique qui donne la probabilité cumulée qu'a une variable aléatoire d'être

inférieure ou égale à une certaine valeur est nommée la "fonction de répartition" ou "fonction

cumulée".

D3. Des variables aléatoires sont dites "indépendantes etidentiquement distribuées" (i.i.d.) si elles

suivent toutes la même fonction de distribution et qu'elles sont indépendantes...

Remarque: Le lecteur pourra trouver la fonction de distribution de Weibull (ou "loi de Weibull") dans le

chapitre traitant du Génie Industriel (section sur l'Ingénierie).

De telles fonctions étant très nombreuses dans la nature, nous proposons au lecteur une étude

détaillée des plus connues seulement.

4.1. FONCTION DISCRÈTE UNIFORME

Si nous admettons qu'il est possible d'associer une probabilité à un événement, nous pouvons

concevoir des situations où nous pouvons supposer a priori que tous les événements élémentaires

sont équiprobables (c'est-à-dire qu'ils ont même probabilité). Nous utilisons alors le rapport entre

le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles pour calculer la probabilité de tous les

événements de l'Univers des événements U. Plus généralement si Uest un ensemble fini

d'événements équiprobables et A une partie de Unous avons sous forme ensembliste :

(7.160)

Plus communément, soit e un événement pouvant avoir N issues équiprobables possibles. Alors la

probabilité d'observer l'issue donnée de l'événement suit une "fonction discrète uniforme" (ou "loi

discrète uniforme") donnée par la relation :

(7.161)

Ayant pour espérance (ou moyenne) :

(7.162)

Si nous nous mettons dans le cas particulier où avec . Nous avons alors (cf.

chapitre de Suites et Séries):

(7.163)

Et pour variance:

(7.164)

Exemple:

Tracé de la fonction de distribution et respectivement de répartition pour la loi discrète uniforme

de paramètres {1,5,8,11,12} (nous voyons que chaque valeur a bien une probabilité équiprobable)

:

(7.165)

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