Notes sur la force électromotrice - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la force électromotrice - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur la force électromotrice - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: une remarque, démonstration de la loi de Faraday, la loi de Lenz, l'inductance.
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Une petite remarque s'impose à ce niveau du discours. Si est bien le vecteur vitesse des

charges q il ne peut être celui qui est colinéaire à car sinon nous aurions:

(38.70)

et donc e serait nul et ceci n'est pas possible car contredirait tous les développements faits

jusqu'à présent ! Au fait, est la vitesse de l'ensemble du circuit qui entraîne avec lui

l'ensemble des charges à la même vitesse !

Ainsi, pendant un temps dt, le circuit se déplace d'une distance:

(38.71)

vecteur qui est perpendiculaire à . Dès lors:

(38.72)

est la surface (voir les propriétés du produit vectoriel dans le chapitre de Calcul Vectoriel)

décrite par le déplacement de l'élément sur la distance tel que:

(38.73)

Nous avons alors :

(38.74)

Nous reconnaissons l'expression du flux (dit "flux coupé") à travers la surface élémentaire .

Ce qui nous amène à écrire (il y a un petit peu d'intuition - bon sens - avec la manipulation des

différentiels mais bon c'est aussi ça la physique...) :

(38.75)

Nous venons de démontrer la "loi de Faraday" dans le cas d'un circuit rigide, déplacé dans un

champ magnétique statique. Nous avons vu apparaître naturellement l'expression du flux

coupé. En fait, la seule chose qui compte, c'est l'existence d'un mouvement d'ensemble du tout

ou d'une partie du circuit (revoir la démonstration pour s'en convaincre). Ainsi, l'expression de

la FEM induite :

(38.76)

reste valable pour un circuit déformé et/ou déplacé dans un champ magnétique statique. Cette

démonstration s'est fait à partir de la force de Lorentz et est donc à priori indépendant du

référentiel choisi!

LOI DE LENZ

L'énoncé de la loi de Lenz est le suivant : L'induction produit des effets qui s'opposent aux

causes qui lui ont donné naissance.

Cette loi est, comme la règle du flux maximum, déjà contenu dans les équations et n'apporte

rien de plus, hormis une intuition des phénomènes physiques. En l'occurrence, la loi de Lenz

n'est que l'expression du signe "-" contenu dans la loi de Faraday.

Exemple:

Si nous approchons un circuit du pôle nord d'un aimant, le flux augmente et donc la FEM

induite est négative. Le courant induit sera alors négatif et produira lui-même un champ

magnétique induit opposé à celui de l'aimant. Deux conséquences :

1. L'augmentation du flux à travers le circuit est amoindrie

2. Il apparaît une force de Laplace (cf. chapitre de Magnétostatique) négative,

s'opposant à l'approche de l'aimant.

Ce signe "-" dans la loi de Faraday (la loi de Lenz) décrit le fait que dans des conditions

normales, il n'y a pas d'emballement possible (exemple: courant ne faisant qu'augmenter).

C'est la raison pour laquelle la loi de Lorenz est souvent appelée "loi de Lenz-Faraday".

INDUCTANCE

Nous avons donc :

(38.77)

Or la loi de Biot-Savart nous donne (cf. chapitre de Magnétostatique) :

(38.78)

Dès lors :

(38.79)

que nous simplifions simplement par:

(38.80)

où L est le "coefficient d'auto-induction" ou "auto-inductance" (ou "self"), exprimé en "Henry"

[H]. Il ne dépend que des propriétés géométriques du circuit et est nécessairement positif.

Avec les lois que nous avons énoncées jusqu'à présent, nous sommes en mesure d'étudier

certains régimes variables. En effet, tous les raisonnements basés sur la notion d'un champ

(électrique ou magnétique) constant au cours du temps peuvent aisément être appliqués à des

systèmes physiques variables (champs dépendant du temps), pourvu que cette variabilité

s'effectue sur des échelles de temps longues par rapport au temps caractéristique d'ajustement

du champ. Voici tout de suite un exemple concret:

La plupart des lois de la magnétostatique supposent un courant permanent, c'est-à-dire le

même dans tout le circuit. Lorsque nous fermons un interrupteur, un signal électromagnétique

se propage dans tout le circuit et c'est ainsi que peut s'établir un courant permanent : cela

prend un temps de l'ordre de l/c où l est la taille du circuit et c la vitesse de la lumière. Si nous

avons maintenant un générateur de tension sinusoïdale de période T (c'est juste un exemple...

pris au hasard...), alors nous pourrons malgré tout utiliser les relations déduites de la

magnétostatique si :

(38.81)

Ainsi, bien que le courant soit variable, la création d'un champ magnétique obéira à la loi de

Biot-Savart tant que le critère ci-dessus reste satisfait. Ce type de régime variable est

également appelé "régime quasistatique" dans le sens qu'il est transitoire.

Donc, puisque nous avons :

et (38.82)

Nous avons alors si et seulement si le courant est variable dans le circuit :

(38.83)

L étant constant pour un circuit rigide. La self ("inductance" en français) crée donc une force

électromotrice inverse de celle générée par le courant à ses bornes. Cette force électromotrice a

donc un sens inverse à celle du générateur électrique.

Remarque: Nous voyons bien dans la relation obtenue, qu'en régime stationnaire, si le courant

est constant, alors la force électromotrice est nulle et la self se comporte alors comme une simple

équipotentielle!

Il convient de donner maintenant un exemple important et simple à la fois de la loi de Lenz en

l'appliquant au calcul l'inductance d'un solénoïde de rayon r (l'inductance d'un solénoïde torique

à section circulaire ayant déjà été faite dans le chapitre de Magnétostatique). Nous avons vu

dans le chapitre de Magnétostatique que le champ magnétique dans un solénoïde était donné

par :

(38.84)

De plus, nous avons (où l est la longueur du solénoïde) nous avons vu plus haut que

le flux du champ magnétique était donné par (si le champ est perpendiculaire à la surface

traversée) :

(38.85)

Donc le flux à travers N spires s'écrit :

(38.86)

Dès lors, dans le cas d'un solénoïde avec N spires il vient immédiatement :

(38.87)

Le taux de variation du flux magnétique se trouve par dérivation, soit :

(38.88)

La force électromotrice engendrée est ainsi :

(38.89)

Avec :

(38.90)

Calculons maintenant la puissance reçue par une bobine. Nous avons démontré plus haut que

nous avons toujours dans notre cas d'étude et si nous modélisons l'inductance comme un

dipôle non idéal:

(38.91)

où les lettres en minuscules indiquent que nous sommes en régime non constant:

(38.92)

Contrairement au développement que nous avions fait dans le chapitre d'Électrostatique pour le

même calcul en ce qui concerne la capacité, nous n'avons pas négligé ici la dissipation

d'énergie par effet Joule. Mais il faut savoir que dans la majorité des cas ce terme est aussi

négligé!

Donc par intégration dans un intervalle de temps donné de 0 à t nous avons pour le deuxième

terme:

(38.93)

Lors i décroit, la bobine restitue cette énergie. Nous ne pouvons donc pas stocker de l'énergie

dans une bobine isolée contrairement à un condensateur.

Dans le cadre d'un régime sinusoïdal, la puissance moyenne sera nulle. Nous pouvons

généraliser ceci en admettant qu'une inductance parfaite ne dissipe aucune puissance par effet

Joule.

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