Notes sur la forme ensembiste d'un jeu - 1° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 January 2014

Notes sur la forme ensembiste d'un jeu - 1° partie, Notes de Management

PDF (73.2 KB)
5 pages
254Numéro de visites
Description
Notes de gestion sur la forme ensembiste d'un jeu - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définitions, Exemple, remarques, la forme graphique d'un jeu.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 5
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Nous avons donc vu jusqu'à maintenant qu'il existe un certain nombre d'éléments qui

composent un jeu : les joueurs, les actions et stratégies des joueurs, les déroulements et les

étapes du jeu, les résultats du jeu et les informations dont disposent les joueurs de chaque

choix d'action.

Définitions:

D1. Les règles d'un jeu indiquent :

- Les succession des étapes du jeu, et l'ordre dans lequel interviennent les joueurs

- Les actions qui sont autorisées à chaque étape

- Les informations dont dispose le joueur chaque fois qu'il doit prendre une décision

Nous avons vu qu'il y a deux formes de représentations possible pour un jeu jusqu'à

maintenant. L'une d'entre elles utilise un arbre et l'autre une table (forme normale). Sous une

expression formelle cela donne :

D2. Un arbre de jeu est la donnée :

- D'un ensemble D de noeuds de décisions, ou situations de jeu

- D'un ensemble I d'issues de jeu, avec (donc une issue n'est pas considérée comme

un noeud !)

- D'un élément de D et d'une fonction p de dansD tel que :

(17)

appelée "fonction prédécesseur", qui pour chaque situation de jeu, ou issue, indique l'unique

action (décision ou situation, d'où le fait que nous enlevons au moins un élément D de

l'ensemble de départ) qui a permis d'arriver à cette situation, ou issue.

Pour déterminer l'issue d'un jeu, il suffit de connaître les stratégies utilisées par chacun des

joueurs. Une stratégie est une combinaison d'actions autorisées par les règles du jeu jusqu'à la

fin de celui-ci. Il existe plus précisément trois types de stratégies.

D3. Une "stratégie pure" s pour un joueur n est une application de l'ensemble des noeuds

de décision de ce joueur vers l'ensemble D de tous les noeuds de décision du jeu telle que :

(18)

Plus simplement dit, une stratégie pure est une stratégie ne faisant intervenir aucune forme de

hasard, qui est donc complètement déterministe.

Remarque: La fonction stratégie pure n'est que la fonction réciproque de tel que .

D4. Une "stratégie mixte" pour un joueur n est une distribution de

probabilité avec sur l'ensemble de ses stratégies

pures .

Exemple:

Les tirs aux buts (penaltys) sont une forme de jeu à stratégie mixte. Effectivement, le gardien

de but doit anticiper le tir en ne peut l'analyser. Il doit donc choisir au hasard s'il restera au

milieur, s'il ira à gauche ou à droite. Idem, pour l'attaquant (normalement le gardien doit se

lancer au moment mêment où l'attaquant tire) qui ne sachant pas où se lancera la gardien tirera

donc au hasard.

Remarques:

R1. Une stratégie pure peut être regardée ainsi comme une stratégie qui donne la probabilité 1

à et 0 à toutes les autres.

R2. Dans notre définition de l'ensemble des stratégies, il y a un nombre fini de stratégies pour

chaque agent mais en économie, les ensembles des stratégies sont souvent continus et contiennet

une infinité de stratégies possibles (choix de quantité, de prix, etc.).

Naturellement, le résultat obtenu par le joueur ne peut pas être garanti de façon certaine,

puisque le processus de choix de la décision fait intervenir des probabilités.

Une stratégie pure est donc une stratégie faisant le choix d'une parmi toutes les stratégie

mixtes et qui utilise celle-ci durant toute la durée de jeu. Un joueur utilisant une stratégie

mixte face à un joueur utilisant une stratégie pure utilisera (sera forcé) donc lui aussi d'utiliser

une stratégie pure pour une rencontre, mais n'utilisera pas toujours la même stratégie pure lors

de toutes leurs rencontres.

D5. Une "stratégie de comportement" pour un joueur n est un

ensemble où est un élément de (donc un numéro de noeud) et une

distribution de probabilité sur le sous-ensemble des successeurs de noeud de

décision i.

D6. Une "combinaison stratégique" est un vecteur de stratégies dont chaque élément

correspond à la stratégie utilisée par un joueur participant au jeu.. La donnée d'une

combinaisons stratégique détermine donc de manière complète l'issue du jeu.

Les joueurs doivent avoir des préférences parmi les issues qui sont à leur portée. C'est avec la

définition des ces préférences que nous pouvons caractériser la rationalité d'un joueur. La

relation de préférence que nous noterons , est une relation binaire sur l'ensemble des issues

d'un jeu. Nous noterons et nous dirons que "x est au moins aussi bon que y". Nous

pouvons alors définir la préférence stricte telle que :

(19)

que nous lirons "x est préféré à y", et la relation d'indifférence :

(20)

Remarque: Nous réutiliserons ces concepts en économétrie lors de notre étude de la théorie de la

préférence.

D7. Une relation de préférence est dite "relation rationnelle", si elle est complète (réflexive)

et transitive. Dans ce cas, comme nous l'avons vu dans le chapitre des opérateurs (section

arithmétique), nous avons affaire à un préordre.

D8. Une "fonction d'utilité", ou encore "fonction de paiement" ("payoff function" en anglais) est

une fonction de l'ensemble des issues d'un jeu à n joueurs vers qui associe les utilités

retirées par chaque joueur.

Si U est une fonction d'utilité, nous noterons la fonction de l'ensemble des issues d'un jeu

vers correspondant aux utilités d'u joueur i. Une telle fonction sera dite représentant de la

relation de préférence si pour toute issue , nous avons :

(21)

La théorie de l'utilité qu'utilise la théorie des jeux, axiomatise le fait que seule cette notion de

préférence est importante. En bref, nous dirons que seul l'ordre de préférence de l'utilité des

issues est important, la valeur des gains apportés par chaque issue étant sans importance.

Nous pouvons maintenant étendre la définition du jeu :

D9. Un "jeu sous forme développée" est la donnée :

- d'un arbre de jeu

- d'un ensemble N de joueurs

- d'une fonction d'utilité U qui donne pour un joueur donné son gain

- d'un ensemble de partition d'informations F, dont chaque élément est une partition de D et

indique les états du jeu que le joueur est capable de distinguer

Remarque: Comme nous l'avons déjà précisé, un jeu sous forme développée est également dite

"forme extensive", ou encore "arbre de Kuhn".

D10. Une jeu est à "information complète" quand chaque joueur connaît l'ensemble des

composantes du jeu, et à "information incomplète" sinon. Il est à noter que de parler d'un jeu à

information complète revient à dire que Fne contient qu'une seule partition et donc que les

joueurs n'ont qu'une seule vue sur l'arbre de jeu.

D11. Un jeu est à "information parfaite" quand l'unique élément de F se réduit à une partition

de D où chaque noeud de décision forme un sous-ensemble, c'est-à-dire que chaque élément

de la partition est un noeud de l'arbre et réciproquement. Plus simplement, nous pouvons dire

que dans ce cas les joueurs peuvent savoir à chaque instant quel noeud de l'arbre est atteint.

Dans le cas contraire le jeu est dit à information imparfaite.

Remarque: Nous pouvons remarquer que toues les jeux simultanés, c'est-à-dire dans lesquels les

joueurs font leur choix en même temps, sont des jeux à information imparfaite. En effet, au

moment de son choix, le joueur ne pas sur quel noeud de décision il se trouve.

Maintenant nous pouvons en venir à définir ce qu'est la matrice des gains :

D12. Un "jeu sous forme normale" est la donnée :

- d'un ensemble N de joueurs

- d'un ensemble S de combinaisons stratégiques

- d'une fonction d'utilité U définie sur S

Ainsi, un jeu sous forme normale est également dit sous forme stratégique. Nous simplifions

d'ailleurs la donnée du jeu à la donnée de la fonction d'utilité, sous la forme d'une matrice de

gain (ou de paiement).

D13. Un jeu est "concurrentiel pur" ou "strictement compétitif" si :

(22)

Donc un jeu est strictement compétitif si pour un ensemble couple d'issues, les gains d'un au

moins des joueurs diminue. Si les deux joueurs ont pour un couple d'issues, leurs gains

respective qui augment ou diminuent respectivement, alors nous avons :

(23)

le jeu n'est dès lors plus strictement positif. Nous en avons par ailleurs donné des exemples au

début de ce chapitre.

D14. Un jeu strictement compétitif est un "jeu à somme nulle" si :

(24)

Un jeu est à somme nulle quand les intérêts des joueurs sont diamétralement opposés. Dans un

jeu à deux joueurs à somme nulle, par exemple, ce qui est gagné par l'un est perdu par l'autre.

Ce terme trouve son origine dans les jeux de salon comme le poker où un joueur qui veut

gagner de l'argent doit le faire aux dépens des autres. Les échecs sont un jeu à somme nulle.

D15. Un "superjeu" est la donnée :

- d'un jeu constitutif

- du nombre de répétition T

- du vecteur de taux d'escompte d'utilité, étant le taux d'escompte du

joueur (souvent pris comme égal à l'unité)

Ainsi, comme nous en avons déjà fait mention lors de notre jeu répétitif GDS2, nous

considérons qu'à une étape tle choix dicté par une combinaison stratégique s au joueur n est

noté et que l'utilité, pour ce même joueur, obtenu à cette étape du jeu, c'est-à-dire l'utilité

issue du jeu constitutif correspondant, est notée , alors l'utilité associée à l'issue du

superjeu est :

(25)

il est clair que si nous retrouvons une définition intuitive simple de la cumulation

des gains.

FORME GRAPHIQUE D'UN JEU

Nous avons maintenant amassé suffisamment d'élément pour avoir une approche probabiliste

et opérationnelle de jeux à somme nulle relativement simples.

Comme il est toujours relativement difficile d'être trop théorique pour que ce domaine reste

compréhensible étudions les formes graphiques via un exemple.

Considérons deux sociétés que nous nommerons respectivement S1 et S2 qui sont spécialisées

dans la vente à grande échelle d'un certain produit et qui forment un oligopole bilatéral en

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome