Notes sur la géométrie analytique - 2° partie, Notes de Géométrie analytique et calcul
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la géométrie analytique - 2° partie, Notes de Géométrie analytique et calcul

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Notes de mathématique sur la géométrie analytique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'ellipse, le paramètre de l'ellipse, la démonstration, la figure correspondante.
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Soit F un point du plan, D une droite ne contenant pas F et e un réel strictement positif. Nous nous

intéressons à:

(24.34)

F s'appelant le "foyer", D la "directrice de la conique" et e l'excentricité.

Nous choisissons F comme origine du repère, de façon que D ait pour équation:

avec (24.35)

Alors:

(24.36)

Nous nous retrouvons bien avec l'équation d'une conique. Nous pouvons considérer maintenant

plusieurs cas particuliers:

1. Cas où :

L'équation se limite alors à:

(24.37)

Il s'agit d'une parabole d'axe orthogonal à D, dont le sommet est le milieu du segment ,

où K est la projection de F sur D.

Relativement à l'origine , l'équation se réduit à:

(24.38)

où h est appelé "paramètre de la parabole" et relativement à , le foyer sera donné par les

coordonnées et la directrice par l'équation .

(24.39)

2. Cas où :

Il s'agit d'une ellipse:

(24.40)

Le dernier terme donnant après développement :

(24.41)

Posons que est l'origine de l'ellipse. L'équation précédente se simplifie et devient:

(24.42)

Pour connaître le demi-grand axe de l'ellipse il suffit de poser . Ainsi:

(24.43)

d'où le demi-grand axe valant:

(24.44)

de la même manière, nous obtenons le demi-petit axe:

(24.45)

en posant étant le "paramètre de l'ellipse" ou "paramètre focal de l'ellipse", nous obtenons

:

(24.46)

dont la première relation sera très utile dans le chapitre d'Astronomie et de Relativité Générale.

Puisque , nous avons :

(24.47)

Etant donné que est sur l'axe X, nous pouvons prendre le cas particulier où tel que :

(24.48)

il existe donc deux foyers à l'ellipse à une distance équivalente mais opposée de .

Nous définissons dès lors l'excentricité d'une ellipse par le rapport:

(24.49)

Nous pouvons dès lors démontrer une relation que nous retrouvons couramment dans les

formulaires :

(24.50)

C'est-à-dire :

(24.51)

L'égalité est donc démontrée.

(24.52)

Une représentation paramétrique utile et évidente de l'ellipse est:

(24.53)

Effectivement si nous considérons l'équation cartésienne de l'ellipse démontrée précédemment :

(24.54)

et en posant et alors nous obtenons:

(24.55)

Si nous nous souvenons du cercle trigonométrique, cette équation admet les

solutions et . Il vient alors :

et (24.56)

Voilà...

Cependant, il existe une autre forme d'équation de l'ellipse, bien plus importante, que l'on

retrouve aussi bien en physique classique, astrophysique et physique quantique corpusculaire.

Rappelons que:

(24.57)

En coordonnées polaires, cela donne:

(24.58)

Donc:

ou (24.59)

après mise en évidence:

ou (24.60)

Nous obtenons deux équations différentes, mais il s'agit en fait de la même courbe. Nous

remarquerons en effet que:

(24.61)

Etant donné que est défini comme le paramètre de la conique, l'équation polaire de

l'ellipse s'écrit:

(24.62)

Dans le cas général, D peut faire un angle quelconque avec l'axe des angles polaires, et l'équation

générale est alors:

(24.63)

2. Cas où :

Il s'agit d'une hyperbole (même raisonnement que l'ellipse):

(24.64)

Posons que :

(24.65)

est l'origine de l'hyperbole. L'équation précédente se simplifie et devient:

(24.66)

Mais encore:

(24.67)

ce qui s'écrit sous forme condensée:

(24.68)

et nous avons pour demi-grand axe et demi-petit axe (raisonnement identique à l'ellipse):

(24.69)

et:

(24.70)

et la figure correspondante :

(24.71)

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