Notes sur la géométrie différentielle, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la géométrie différentielle, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la géométrie différentielle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: définitions, les isoclines, les différentes figures.
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Géométrie différentielle.

Comme nous l'avons déjà en géométrie non-euclidienne, la géométrie différentielle est la branche de la géométrie qui vise à étudier les propriétés locales (au voisinage d'un point) et

intrinsèques des courbes et des surfaces non-euclidiennes (comme une généralisation des

surfaces euclidiennes!).

La géométrie différentielle tient son nom du fait qu'elle est née de la possibilité d'une

interprétation cinématique que le calcul infinitésimal apporte à l'étude des courbes. Les points que

nous aborderons ici serviront aussi bien dans l'étude de la mécanique classique que de l'analyse

complexe appliquée à de nombreux domaines de l'étude des champs.

Remarque: Avant de nous attaquer à la manière très formelle et abstraite d'aborder la géométrie

différentielle avec les outils de la topologie (méthode habituelle aux mathématiciens) nous avons

choisi dans un premier temps de présenter les éléments essentiels de manière simple et agréable

telle qu'elle est faite dans les écoles d'ingénieurs. Les puristes nous excuseront donc au cas où en

attendant mieux...

Définition: Nous assimilerons "l'espace physique" à et le supposerons muni d'un

repère et nous noterons B la base

Soient un ensemble et une fonction telle que :

(25.1)

Remarques:

R1. Si f est continue, alors est une courbe de l'espace appelée "courbe d'un seul tenant".

R2. Une parabole, une sinusoïde sont des courbes appelées "courbes planes". Une ellipse, un cercle

sont elles appelées des "courbes planes fermées". Pour ces exemples, tous les points des courbes

considérées sont situés dans un même plan. Inversement, une courbe est appelée "courbe gauche"

(gauchir = dévier, tordre) s'il n'en est pas ainsi.

Choisissons et posons que nous noterons par abus de langage nous

pouvons alors énoncer la définition suivante : le couple (f , I) où f est une fonction continue est

appelé "arc paramétré". est appelée le "support" de (f , I) et est une "origine" de (f , I).

Remarques:

R1. Abusivement, nous disons aussi que (f , I) est un "paramétrage" de .

R2. Il est facile de définir d'autres arcs paramétrées admettant aussi comme support. Pour ce

faire, il suffit de se donner une fonction bijective de I vers et telle que .

Avant de continuer, rappelons qu'en géométrie différentielle, "l'abscisse curviligne" est une sorte

de variante algébrique de la longueur d'un arc (c'est donc l'analogue, sur une courbe, de

l'abscissse sur une droite orientée).

Considérons maintenant l'abscisse curviligne (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

(25.2)

nous savons que dans un espace euclidien canonique dans l'abscisse curviligne s'écrit alors :

(25.3)

avec et comme nous avons , il reste :

(25.4)

Dans le système cartésien :

(25.5)

il vient donc que :

(25.6)

Qui est donc l'élément différentiel linéaire d'un espace euclidien (le plus court chemin ou encore la

"géodésique" ou encore " l'abscisse curviligne différentielle").

Nous pouvons bien évidemment écrire (par multiplication des deux côtés de l'égalité) :

(25.7)

Voyons une application avec une hélice (les exemples sont jolis en géométrie différentielle et

valent donc la peine d'être vus...) qui est un exemple typique de courbe gauche :

Soit et la fonction :

(25.8)

avec et les coordonnées paramétriques :

(25.9)

Nous avons alors avec Maple en prenant r et h comme étant égaux à l'unité:

>spacecurve([cos(t),sin(t),t,t=-4*Pi..4*Pi,numpoints=1000]);

(25.10)

La fonction f est un arc paramétré dont le support est appelé une "hélice", r en est le rayon et h le

pas. En prenant comme origine, l'abscisse curviligne de cette hélice (un morceau) est donné

par :

(25.11)

Donc :

(25.12)

et alors:

(25.13)

ISOCLINES

Voyons maintenant un point très important en mathématique mais en plus dans l'ingénierie

médicale, astrophysique, météorologie (parmi encore beaucoup d'autres domaines) que sont les

isoclines.

Avant d'aborder le sujet sous forme mathématique, nous proposons au lecteur d'ouvrir Matlab et

d'y écrire:

EDU» [xx,yy,z]=peaks;

EDU» figure(1);mesh(xx,yy,z);title('peak')

(25.14)

ensuite pour des raisons esthétiques, d'écrire:

EDU» figure(2);surf(xx,yy,z);title('surf')

(25.15)

Ensuite nous aimerions que Matlab nous trace quelques courbes de niveau (les points où la valeur

de la fonctionsf(x,y) est constante), appelées par les matheux des "isoclines" ou "courbes d'iso-

niveau". Il faut alors écrire:

EDU» figure(3);contour3(xx,yy,z);title('contour 3D')

(25.16)

Nous allons ensuite lui demander de les projet sur le plan X,Y.

Ce qui donne:

EDU» figure(3);contour3(xx,yy,z);title('contour 3D')

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