Notes sur la la musique mathématique - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur la la musique mathématique - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la musique mathématique - 2° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:les ondes sphériques,les ondes de choc.
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(43)

Nous avons alors:

(44)

Pour calculer la puissance transportée par une onde sonore, nous allons calculer le travail

effectué, pendant une période, sur une surface S située sur un plan perpendiculaire à l'axe

des x et de coordonnées x.

La force exercée sur cette surface sera:

(45)

Le travail effectué quand cette surface se déplace de sera:

(46)

Comme nous faisons un calcul pour les déplacements d'une couche dont la position

d'équilibre x ne varie pas, seule la variable t varie:

(47)

En remplaçant nous obtenons:

(48)

Le travail exercé pendant un période :

(49)

sera:

(50)

Nous avons déjà démontré l'expression de ce type d'intégrale dans le chapitre de Calcul

Différentiel et Intégral:

(51)

d'où:

(52)

En remplaçant il vient:

(53)

Pour calculer la puissance, il faut diviser ce travail par le temps dans lequel il a été effectué:

(54)

et pour calculer la puissance transmise par unité de surface, il faut diviser par la surface:

(55)

Si nous remplaçons k par:

(56)

Nous obtenons:

(57)

Avant de continuer, signalons que qu'il existe plusieurs façons de mesurer l'amplitude d'un son,

et par extension, d'un signal quelconque de nature ondulatoire :

- l'amplitude moyenne (la valeur moyenne arithmétique du signal positif)

- l'amplitude efficace (amplitude continue équivalente en puissance)

- l'amplitude crête (maximale positive)

- l'amplitude crête à crête (l'écart maximal d'amplitude positive et négative)

(58)

Dans la pratique, l'amplitude moyenne présente peu d'intérêt et n'est pas utilisée. En revanche,

la valeur efficace ou RMS, pour Root Mean Square en anglais, soit la valeur quadratique

moyenne du signal est universellement adoptée pour mesurer la valeur des tensions

alternatives, dans le cadre général autant qu'en acoustique. Un amplificateur qui est donné pour

10 watts RMS fera 14 watts en crête et 28 watts en crête à crête (aussi noté cc). Les mesures de

puissance crête à crête sont assez souvent appelées "watts musicaux" par les vendeurs de

matériel audiovisuel, car les chiffres sont plus flatteurs.

L'unité de mesure de l'amplitude dépend de la grandeur physique mesurée :

- Pour une corde vibrante, c'est une distance.

- Pour une onde sonore, c'est la pression de l'air, ou des mouvements du diaphragme

- Pour le rayonnement électromagnétique, l'amplitude correspond au champ électrique.

- Pour un signal électrique, cela correspond à la valeur maximale.

Pour les régimes sinusoïdaux, il est facile de démontrer que quelque soit le domaine de la

physique la valeur efficace est la valeur de crête divisée par la racine carrée de deux:

(59)

Dons en valeur efficace (il s'agit uniquement d'un choix arbitraire et rien d'autre il faut juste

savoir de quoi on parle par la suite!!), la relation antéprécédente s'écrit:

(60)

Comme nous avons l'amplitude de la pression qui est égale à:

(61)

et sa valeur efficace par:

(62)

Finalement nous avons pour la puissance (que nous représenterons par la suite par

un P majuscule stylisé afin de ne pas confondre avec la pression):

(63)

MESURE DE L'INTENSITÉ DU SON

Pour caractériser le sou, on a inventé une unité de mesure: le "Bel" et son sous-multiple le

"décibel" qui vaut 1/10 de Bel. Cette intensité a été définie à partir de la pression sonore

efficace (le donné plus haut) et de la pression sonore d'une onde (à une fréquence précise!)

à la limite du seuil auditif d'une petite élite de l'humanité (environ 10%).

Cette pression efficace de référence vaut:

(64)

L'intensité sonore d'une onde dont la pression sonore efficace est vaut par définition et par

convention:

(65)

Dans certaines source, nous trouvons la définition du Bel à partir d'une intensité de référence

de (à 1 [KHz]) :

(66)

Il vient alors (la définition est équivalent puisqu'il s'agit d'un rapport et que la puissance est

directement proportionnelle au carré de la pression comme nous l'avons démontré plus haut):

(67)

En réalité, le Bel est rarement utilisé et on lui préfère le décibel (la plupart des êtres humains

peuvent à ce jour déceler une différence d'intensité entre deux sont dont l'intensité diffère de

1 [dB]):

(68)

La raison de ce choix logarithmique est que la sensation auditive est aussi logarithmique: on a

la même impression d'augmentation du son quand celui-ci passe de 1 à 10 que quand il passe

de 10 à 100.

Pour donner une de la valeur d'un décibel, voici un tableau de valeurs typique:

Décibels Source

160 Dommages au tympan

140 Seuil de la douleur

120 Seuil de la gêne

100 Atelier de machines lourdes

85 Automobile

75 Usine moyenne

60 Conversation normale

40 Bruit des spectateurs au cinéma

20 Studio de radiodiffusion

10 Chambre anéchoïque

0 Seuil de l'audition

Tableau: 1 - Amplitudes relatives typiques de différents sources sonores

Comme nous l'avons déjà dit la pression efficace sonore minimum qui provoque une sensation

auditive est de :

(69)

c'est-à-dire environ plus petite que la pression atmosphérique. Il faut tout de même que

la fréquence de cette onde se situe autour de 3 [KHz], là où la sensibilité est maximum.

Il est très intéressant de calculer à quelle amplitude efficace de déplacement cela correspond.

Nous utilisons alors la relation démontrée plus haut:

(70)

Donc pour le cas limite et à 1 [KHz], aux C.N.T.P., nous aurons un déplacement de (valeurs

prises dans les tables C.R.M.):

(71)

et la valeur crête sera donc de:

(72)

Cette valeur est inférieure au rayon des atomes selon le modèle de Dalton. La nature nous a

doté d'une organe d'une sensibilité exquise!

Il est facile de calculer à quelle valeur de puissance unité de surface correspond une onde

sonore à la limite de l'audition. En utilisant la relation démontrée plus haut, nous obtenons:

(73)

Comme la surface de la section du canal auditif fait moins d'un , la puissance qui arrive au

tympan est inférieur à .

ONDES SPHÉRIQUES

Dans la réalité les ondes sonores sont générées par des sources d'étendue finie. À des

distances plus faibles ou comparables à l'étendue de la source, la forme du front d'onde qui

s'éloigne de la source peut être très compliqué (imaginez le front d'onde d'un tonnerre

provoqué par un éclair tarabiscoté). Mais, loin de la source, elle est vue comme un objet

ponctuel et le front d'onde devient de plus en plus sphérique à mesure que l'on s'éloigne de la

source.

Si nous regardons un petit morceau de la sphère, la petite surface sphérique sera très peu

incurvée et nous pourrons l'assimiler à une surface plane sans faire trop d'erreur. Nous

retrouvons les ondes planes que nous avons calcules dans ce chapitre... Mais pas tout à fait!

La différence est que l'énergie transportée par l'onde sonore est distribuée dans une surface qui

s'agrandit comme (où R est la distance à la source). Donc la puissance par unité de surface

doit diminuer comme (comme pour les ondes électromagnétiques vues dans le chapitre

du même nom) et comme la puissance par unité de surface est proportionnelle à ou

à cela implique que dans une onde sphérique, aussi bien le déplacement , que la

pression sonore , doivent diminuer comme 1/R.

Dans le cas des ondes sinusoïdales il faudra modifier l'équation d'onde:

(74)

en ajoutant un coefficient 1/R. Si nous appelons r la distance entre la source et la position

d'observation, et que, à la place de mesurer la position avec x nous le faisons avec r:

(75)

et de même pour la pression sonore:

(76)

ONDES DE CHOC

Les ondes de choc se produisent dans un gaz pour des perturbations très intenses. Par

exemple, l'onde du choc du Concorde (bang supersonique) fait au niveau du sol une

surpression d'environ 100 [Pa]. Le son est très fort, de l'ordre de 140 [dB], mais la surpression

n'est que d'un millième de la pression atmosphérique! Les ondes à la sortie des armes à feu ont

des surpressions de l'ordre de quelques .

Nous avons démontré que la vitesse des ondes dans un gaz dépendait de la température mais

si nous prenons en compte que les ondes sonores produisent des variations de pression,

celles-ci produisent donc elles-mêmes des variations de température (cf. chapitre de

Thermodynamique). Donc, une augmentation de pression augmente la température ce qui

augmente la vitesse. Pour le cas d'une sinusoïde, les sommets de pression se retrouvent à

voyager plus vite que les creux... La sinusoïde se déforme, la pente entre les sommets et les

creux de devant augmente ce qui a tendance à créer un front d'onde abrupt entre le partie

chaude, derrière le front d'onde et la partie froide juste devant. C'est ce que l'on appelle "onde

de choc". Cette onde de choc se propage à la vitesse qui correspond à sa température et qui est

supérieure à celle du son normal.

À mesure que le front d'onde se propage, son amplitude diminue et à la fin, l'onde de choc

devient une onde sonore normale. Ce qui est remarquable est que les ondes de choc, aussi bien

celles en surpression (plus chaudes et plus rapides) que celles en dépression (plus froides et

plus lentes) fusionnent avec les ondes qu'elles rattrapent ou qui les rattrapent. En effet, une

onde normale qui se fait rattraper par une onde de choc se retrouve à voyager dans une zone

chaude dont la vitesse est celle de l'onde qui l'a rattrapée.

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