Notes sur la la solution de Schwarschild - 2° partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur la la solution de Schwarschild - 2° partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur la solution de Schwarschild - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la "métrique de Schwarzschild", le "rayon de Schwarzschild".
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(50.264)

Soit les seuls éléments non nuls sont :

(50.265)

Soit sous forme plus conventionnelle (conforme à la littérature) nous pouvons simplifier un peu

et par ailleurs garder que les trois premières équations :

(50.266)

Si nous additionnons les deux premières équations il nous reste :

(50.267)

ce qui équivaut à :

(50.268)

Nous avons donc :

(50.269)

qui devient :

(50.270)

Le lecteur pour vérifier qu'une solution de l'équation différentielle est :

(50.271)

où S est une constant réelle non nulle. En conséquence, la métrique pour une solution statique,

symétriquement sphérique et dans le vide (...), s'écrit :

(50.272)

Il nous reste à déterminer un coefficient. Mais comme :

(50.273)

il vient :

(50.274)

Donc :

(50.275)

Donc finalement :

(50.276)

Notons que l'espace-temps représenté par cette métrique est asymptotiquement plat, ou, en

d'autres termes lorsque , la métrique s'approche de celle de Minkowski, et la variété de

l'espace-temps ressemble à celle de l'espace de Minkowski.

Pour calculer les constantes K et S, nous utilisons l'approximation du champ faible. En d'autres

termes, nous nous plaçons loin du centre, là où le champ de gravitation est faible. Dans ce cas,

la composante de la métrique peut être calculée.

Effectivement, nous avions étudié plus haut la limite newtonienne et avions obtenu la relation

suivante :

(50.277)

avec (cf. chapitre d'Astronomie) . Donc in extenso nous pouvons poser sans trop

de craintes :

(50.278)

soit :

et (50.279)

Finalement nous avons pour la "métrique de Schwarzschild" :

(50.280)

soit en unités naturelles :

(50.281)

Une singularité toute (physiquement) apparente apparaît lorsque :

(50.282)

ou en d'autres termes, lorsque la coordonnée du rayon r vaut :

(50.283)

Ce rayon, que nous avions déjà déterminé lors de notre étude la mécanique classique, est

appelé "rayon de Schwarzschild".

Le rayon de Schwarzschild est défini comme le rayon critique prévu par la géométrie de

Schwarzschild, en deçà duquel rien ne peut s'échapper : si une étoile ou tout autre objet atteint

un rayon égal ou inférieur à son rayon de Schwarzschild (qui dépend de sa masse, cf. ci-

dessous), alors elle devient un Trou Noir, et tout objet s'approchant à une distance de celui-ci

inférieure au rayon de Schwarzschild ne pourra s'en échapper. Le terme est utilisé en physique

et en astronomie pour donner un ordre de grandeur de la taille caractéristique à laquelle des

effets de relativité générale deviennent nécessaires pour la description d'objets d'une masse

donnée. Les seuls objets qui ne sont pas des trous noirs et dont la taille est du même ordre que

leur rayon de Schwarzschild sont les étoiles à neutrons (ou pulsars), ainsi, curieusement, que

l'univers observable en son entier.

Remarques:

R1. La singularité dans la métrique lorsqu'on atteint le rayon de Schwarzschild est apparente car

il ne s'agit que d'un effet du système de coordonnées utilisées.

R2. Un théorème remarquable affirme que la métrique de Schwarzschild est l'unique solution

aux équations d'Einstein dans le vide possédant la symétrie sphérique. Comme la métrique de

Schwarzschild est également statique, ceci montre qu'en fait dans le vide toute solution sphérique

est automatiquement statique. Une des conséquences intéressantes de ce théorème est que

n'importe quelle étoile pulsante qui reste à symétrie sphérique ne peut pas générer d'ondes

gravitationnelles (puisque la région de l'espace-temps extérieure à l'étoile doit rester statique).

Maintenant que nous avons la métrique de Schwarzschild revenons sur le critère de Schild que

nous avions vu lors de notre étude classique de l'effet Einstein.

Si nous récrivons la métrique de Schwarzschild pour un corps immobile nous avons la métrique

qui se simplifie en :

(50.284)

En faisant intervenir le potentiel gravitationnel (cf. chapitre d'Astronomie) :

(50.285)

la métrique s'écrit :

(50.286)

d'où en introduisant le temps propre :

(50.287)

d'où :

(50.288)

soit :

(50.289)

Le développement au deuxième ordre en série de MacLaurin (cf. chapitre de Suite Et Séries) de

la racine négative donne :

(50.290)

Ainsi, nous avons :

(50.291)

Donc cela démontre que la courbure (la gravitation) engendre une dilatation du temps d'autant

plus importante (dans le sens qu'elle s'écoule plus vite) que le champ de gravité est intense (la

masse M est grande) ou que nous sommes près du corps sous du champ (rayon r petit).

Or, pour la Terre, le terme:

est relativement faible. Mais pour un Trou Noir ou une étoile à Neutrons, ce n'est plus vraiment

le cas et la dilatation devient importante et les effets accessibles à la mesure.

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