Notes sur la limite de Chandrasekhar - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la limite de Chandrasekhar - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur la limite de Chandrasekhar - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les exemples, les contributions.
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LIMITE DE CHANDRASEKHAR

Nous avons déjà déterminé dans le chapitre de Mécanique Classique le rayon de Schwarzschild

(sous sa forme classique) qui exprime le rayon critique d'un corps pour que la vitesse de

libération à sa surface soit égale à la vitesse de la lumière. Nous avions obtenu la relation ci-

dessous qui exprimait typiquement le rayon que devrait avoir un astre donné pour avoir une

vitesse de libération égale à celle de la lumière :

(48.90)

Dans ce cas particulier l'astre est ce que nous avions appelé un "Trou Noir". Cependant, avant le

trou noir, une étoile passe comme nous en avons parlé par plusieurs étapes intermédiaires par

lesquelles elle peut d'ailleurs se stabiliser. Ainsi, vous avez du souvent lire dans la littérature

que pour une naine blanche s'effondre en étoile à neutrons, que sa masse devait être supérieur

à 1.4 masses solaire. C'est ce que nous allons démontrer maintenant.

Nous allons introduire le sujet sur l'étude de l'influence du principe d'incertitude sur la taille

d'un système atomique (il en limite la dimension minimale). Cet exemple est fort puissant car il

montre que le principe d'incertitude ne régit pas seulement le processus de la mesure mais

aussi le comportement global des systèmes quantiques.

Le premier exemple que nous pouvons donner est celui de l'atome d'hydrogène, non que nous

attendions un résultat nouveau de cette méthode d'analyse, mais plutôt parce que nous

pouvons exposer l'usage du principe d'incertitude et insister sur sa signification.

Nous admettons que le proton, dont la masse l'emporte de beaucoup sur celle de l'électron,

peut être considéré comme fixe. L'énergie de l'électron s'écrit :

(48.91)

En physique classique, un système dont l'énergie est donnée par la relation précédente ne

possède pas de minimum : si nous faisons tendre r vers zéro en conservant la forme circulaire

de l'orbite, il est facile de voir que tend vers . En revanche, en physique quantique,

cette limite n'a pas de sens : le principe d'incertitude s'y oppose.

Dans ce cas, la recherche du minimum de prend un sens, car une contrainte apparaît

qui maintient ce minimum à une valeur finie. Elle se détermine en physique quantique (voir le

modèle de Bohr de l'atome dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire) et impose:

où (48.92)

Cependant, cette relation mis à part, si le rayon r de l'atome devient trop faible sous des

contraintes extérieures (attention! nous nous affranchissons des orbites quantifiées du modèle

de Bohr de l'atome qui impose une contrainte à p) la quantité de mouvement p de l'électron ne

peut être inférieure à l'incertitude qu'impose le principe d'incertitude de Heisenberg, dès

lors que est de l'ordre du rayon r de l'atome. La forme même de la relation précédente

limite la portée de la méthode : nous ne pouvons espérer déterminer mieux qu'un ordre de

grandeur du minimum de .

Afin d'évaluer le minimum de l'énergie totale, que nous interprétons comme l'état

fondamental de l'atome d'hydrogène, nous calculons le minimum de en éliminant p de

l'expression:

par (48.93)

Nous obtenons :

(48.94)

Le rayon de l'atome dans l'état fondamental est la valeur de r qui donne à E(r) sa valeur

minimale:

(48.95)

si bien que:

(48.96)

qui est l'expression bien connue du rayon de Bohr vue en physique quantique corpusculaire lors

de l'étude du modèle de Bohr de l'atome. L'énergie de l'état fondamental est donc

maintenant facilement calculable.

Le but de cet exemple est de montrer qu'avec le principe d'incertitude de Heisenberg nous

pouvons par un raisonnement très simple retrouver l'état fondamental d'un système. C'est

exactement de cette façon que nous allons procéder pour déterminer les conditions qui font

qu'un astre se retrouve dans son état fondamental.

Attaquons maintenant à l'étude d'une étoile. Schématiquement celle-ci se compose d'un

mélange de deux gaz: celui qui est formé de noyaux d'une part, le gaz électronique de l'autre.

Au cours de la vie de l'étoile, de nombreux processus de fusion ont eu lieu. Ils ont accru à

chaque fois la taille et la masse des noyaux; FE (le fer) qui est abondant à la fin de la vie d'une

étoile, contient en moyenne 56 nucléons (voir la partie physique atomique du site).

Ces noyaux sont de nature chimique ou isotopique variée. Comme ils sont peu nombreux en

comparaison des électrons, leur pression est celle d'un gaz classique chargé, neutralisé par la

présence des électrons: elle peut être ignorée, et ce d'autant plus que la température est nulle.

La charge électronique seule ne permettrait pas aux électrons de résister à l'effondrement d'une

étoile puisque la matière stellaire est neutre. A très basse température, quand le carburant est

épuisé, la seule pression que le gaz électronique puisse opposer à la pression hydrostatique

due à la pesanteur est d'origine quantique.

En première approximation, les électrons exercent donc l'un sur l'autre une répulsion apparente

qui n'est pas d'origine coulombienne (principe d'exclusion de Pauli). En première

approximation, ils obéissent à une relation analogue à celle de l'électron atomique et qui s'écrit

dans le cas minimal (ou maximal de pression) :

(48.97)

où est la distance moyenne qui sépare deux électrons voisins.

A température , l'équilibre est atteint quand l'énergie (la matière de l'astre) totale du

système est minimale.

Que se passe-t-il si nous essayons d'évaluer la variation du rayon de la Naine Blanche en

fonction de sa masse ?

L'énergie potentielle gravifique d'une étoile est donnée en bonne approximation par (voir

chapitre de Mécanique Classique) :

(48.98)

étant approximativement donnée par:

(48.99)

où est la masse du proton et N le nombre de nucléons que contient l'étoile: la contribution

des électrons à la masse de l'astre est négligeable et il n'y pas lieu de distinguer entre la masse

du neutron et celle du proton, presque identiques.

La seconde contribution à l'énergie est essentiellement celle du gaz électronique dégénéré (la

dégénérescence correspond à l'existence de plusieurs états ayant la même énergie), d'origine

cinétique. Nous pourrions être tentés d'écrire simplement:

(48.100)

Cette manière de faire conduit à une impasse. Si nous exigeons que la

somme atteigne une valeur minimale, nous aboutissons à une valeur du rayon de

l'étoile tellement faible que, par application de la relation la vitesse moyenne des

électrons v dépasserait celle de la lumière!

Pour éviter cette contradiction, nous devons recourir à la mécanique relativiste qui nous a

montré que, dans ce cas (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous pouvons exprimer l'énergie

totale comme:

(48.101)

si la valeur numérique de l'énergie cinétique l'emporte considérablement sur l'énergie de repos

nous avons :

(48.102)

et donc:

(48.103)

La distance moyenne d entre électrons s'évalue en supposant que l'étoile est homogène,

approximation suffisante dès lors que nous cherchons l'ordre de grandeur d'une moyenne.

Nous simplifions encore la géométrie en admettant que chaque électron est entouré d'un

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