Notes sur la loi d'Ohm, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la loi d'Ohm, Notes de Physique

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Notes de physique sur lla loi d'Ohm. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la loi locale d'Ohm, la table, la résistance équivalente, la capacité équivalente.
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A partir de la relation démontrée précédemment:

(38.28)

et en prenant la définition de la "conductivité" par:

(38.29)

Il vient finalement:

(38.30)

qui est la "loi locale d'Ohm". Nous la retrouverons sous forme différentielle dans le chapitre de

Mécanique Statistique et nous verrons qu'elle appartient au fait à la famille des lois de diffusion!

Remarque: Puisque la conductivité est nécessairement un scalaire, l'écriture vectorielle de la

loi d'Ohm implique que les lignes de champ électrostatiques indiquent également le chemin pris

par les charges électriques. Par ailleurs, comme la conductivité est un scalaire nécessairement

positif dans le modèle classique, ceci implique que le courant a la même direction que le champ

électrique.

Si nous multiplions l'égalité sous forme scalaire à droite et à gauche par L nous obtenons:

(38.31)

Donc nous avons:

ou (38.32)

Nous définissons l'inverse de la conductivité comme la "résistance électrique" définie par:

(38.33)

Remarque: Il est important de remarquer que la résistance électrique est proportionnelle à la

longueur de l'élément résistif et inversement proportionnel à sa surface de section. Par exemple

dans les câbles hautes tension la résistance est donnée en Ohm par kilomètre ce qui permet

ensuite de calculer la puissance perdue par kilomètre et donc aussi l'argent perdu par perte Joule.

Dès lors, nous pouvons écrire la loi d'Ohm sous sa forme la plus communément connue :

(38.34)

où donc (attention!!!) le potentiel U représente la différence de potentiel sur la longueur de

l'élément résistif (appelé également "dipôle résistif") comme nous le voyons dans les

développements et non pas le potentiel total extérieur!

Remarque: Cette relation n'est valable que pour des conducteurs idéaux dans des conditions

normales de températures et de pression et pour lesquels le modèle de Drude s'applique. Donc les

semi-conducteurs et supraconducteurs en sont exclus.

Puisque U est le potentiel de l'élément résistif, nous faisons alors souvent référence dans le

domaine de l'électrotechnique à la "chute de potentiel" (effectivement, au delà de l'élément

résistif le potentiel n'est plus le même que le point qui précède ce même élément résistif).

Pour les câbles en cuivre typiques d'usage non industriel il existe une table américaine très utile

dans la pratique donnant avec une relativement bonne tolérance la resistivité en fonction du

diamètre et le courant maximal admissible. Voici un échantillon de cette table:

AWG Diamètre du fil

enmm (avec

isolant)

Résistance en

Ω par mètre

Courant max.

théoriquement admissible

à l'air libre en A

Courant max.

théoriquement

admissible en A

1 7.35 0.0040 211 119

2 6.54 0.0051 181 94

... ... ... ... ...

12 2.05 0.00521 41 9.3

13 1.83 0.00657 35 7.4

14 1.63 0.00829 32 5.9

15 1.45 0.0104 28 4.7

16 1.29 0.0132 22 3.7

... ... ... ... ...

Tableau: 55.1 - Codes AWG pris de Wikipedia

où AWG signifie "American Wire Gauge" et correspond une petite jauge qu'on peut acheter pour

rapidement déterminer le diamètre d'un câble à l'aide de la table ci-dessus sans avoir un pied à

coulisse:

(38.35)Source: Wikipedia

RÉSISTANCE ÉQUIVALENTE

Nous pouvons maintenant nous intéresser sur toute la longueur d'une ligne de champ

électrique parcourue colinéairement par une courant I supposé constant en tout point (c'est une

approximation donc...) à la résistance totale si n éléments résistifs sont mis les uns à cotés

des autres linéairement.

La réponse est relativement simple puisque si nous notons le potentiel à la première

extrémité de l'élément résistif et l'autre extrémité, nous avons alors (le lecteur remarquera

que l'usage de la loi des mailles dans la relation suivante se fait logiquement sans même avoir

nécessairement connaissance de celle-ci) :

(38.36)

c'est-à-dire un résultat analogue à celui obtenu par une résistance unique dont la valeur est

donnée approximativement par (si le courant est constant sur toute la ligne) la "résistance

équivalente de résistances en série" :

(38.37)

Considérons maintenant n résistances en parallèles toutes sous une tension U (de par la loi des

mailles) et alimentées par un courant I. Le courant se sépare alors en n courants :

(38.38)

Dans chacune des n branches. En vertu de la loi des noeuds, nous avons :

(38.39)

c'est-à-dire que l'ensemble des résistances mises en parallèles sont analogues à une

"résistance équivalente de résistances en parallèles":

(38.40)

donnée donc par la moyenne harmonique (cf. chapitre de Statistiques)!

Le fait de brancher des appareils en parallèle permet donc d'avoir toujours la même tension aux

bornes de ceux-ci. C'est ainsi que sont disposé par ailleurs les prises électriques dans une

installation domestique!

CAPACITÉ ÉQUIVALENTE

Nous pouvons de même, appliquer le même type de raisonnement aux capacités. Rappelons

que nous avons défini dans le chapitre d'Électrostatique, la capacité comme étant donnée par :

(38.41)

Considérons, au même titre que les résistances, n condensateurs de capacités mis en série

les uns derrière les autres. Nous portons aux potentiels et les deux extrémités de la

chaîne et nous apportons la charge Q sur l'ensemble du système. Le potentiel (tension) total

aux bornes de la chaîne de condensateur s'écrit alors simplement :

(38.42)

et correspond donc à celle d'une capacité unique C de "capacité équivalente de capacités en

série" :

(38.43)

où nous retrouvons une moyenne harmonique.

Considérons maintenant n condensateurs de capacités mis en parallèle avec le même

potentiel U. La charge électrique de chacun d'entre eux est alors imposée (de par la loi des

mailles) par la relation:

(38.44)

La charge électrique totale est simplement :

(38.45)

ce qui correspond à une "capacité équivalente de capacités en parallèle" :

(38.46)

qui est la somme arithmétique des capacités individuelles.

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