Notes sur la loi de Biot-Savart - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la loi de Biot-Savart - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur la loi de Biot-Savart - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le développement, la relation, le schéma, le dipôle magnétique.
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Du dernier développement, nous tirons donc :

(36.37)

Rappelez-vous qu'à la dernière étape de notre développement précédent (nous l'avons précisé

implicitement) que le chemin d'intégration est perpendiculaire au courant ! Mais le champ

magnétique ne peut pas être nul en tout point de la ligne du courant. Dès lors, nous sommes

amenés à écrire ce qui est caché :

(36.38)

La relation ci-dessus nous permet donc, par extension, d'écrire sous une forme plus générale :

(36.39)

qui n'est d'autre que la "loi de Biot-Savart" souvent présentée en premier dans les classes

scolaire comme début d'étude du magnétisme.

Cette dernière forme peut tout aussi bien s'écrire (forme très importante) :

(36.40)

Donc :

(36.41)

Nous retrouvons ici l'approximation non relativiste du champ magnétique tel que nous l'avons

déterminé lors de notre étude de la mécanique relativiste, où nous avons démontré que :

(36.42)

Une autre forme importante de l'expression du champ magnétique est :

(36.43)

Comme J est colinéaire à , nous pouvons écrire :

(36.44)

Donc :

(36.45)

Une remarque importante s'impose à notre niveau du discours : dans le cadre des études

scolaires pré-universitaires, les formulations mathématiques des champs magnétique

et électrique sont considérées comme des lois indémontrables d'où l'on tire plus tard les

équations de Maxwell (de plus les développements ne sont pas des plus esthétiques et

rigoureux). L'aspect totalement expérimental de relations aussi importantes peut avoir une

image néfaste de la physique théorique sur les étudiants. Il convient dès lors de préciser que

lors des études universitaire, nous avons une approche juste un peu moins pragmatique.

Effectivement, nous postulons l'équation de Schrödinger (cf. chapitre de Physique Quantique

Ondulatoire) dont nous nous servons pour démontrer la formulation non relativiste de la loi de

Coulomb à l'aide de la théorie de Yukawa (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs).

Ensuite, pendant l'étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous

déterminons la forme relativiste de la loi de Coulomb. Ensuite, nous admettons l'existence du

champ magnétique dont l'expression est donnée expérimentalement par la force de Lorentz

(voir plus bas dans ce chapitre) et de par les propriétés des transformations de Lorentz et de la

connaissance de l'expression relativiste de la loi de Coulomb nous déterminons l'expression

relativiste du champ magnétique. Ensuite, par approximation non relativiste, nous tombons sur

la loi de Biot-Savart. Cette manière de procéder est beaucoup mieux accueillie par les étudiants

mais pas nécessairement accessible à tous les niveaux.

Revenons maintenant sur la loi de Biot-Savart. Un exemple important en astrophysique de loi

de Biot-Savart dans le cadre des jets de plasmas des disques d'accrétion sont les boucles de

courant circulaires uniques (il faut y rajouter aussi la force de Laplace dans le cadre relativiste

pour comprendre la dynamique de ces jets).

La figure ci-dessous en représente un bon exemple :

(36.46)

Nous avons donc une boucle circulaire de rayon R parcourue par un courant d'intensité I.

L'objectif étant de calculer et un point P de l'axe de cette boucle.

Le vecteur correspondant à un courant élémentaire au sommet de la boucle sort

perpendiculairement du plan de la page. L'angle entre ce vecteur et est donc de . Le

plan formé par et est normal à la figure. Le vecteur produit par ce courant élémentaire

est normal à ce plan de par la forme de la loi de Biot-Savart. Il est donc dans ce plan de la

figure et à angle droit avec le vecteur comme indiqué sur la figure.

Décomposons en deux parties : la première, est le long de l'axe de la boucle et la

seconde, est perpendiculaire à cet axe. Seule la composante contribue à l'induction

magnétique totale au point P. Il en est ainsi du fait que les composantes de tous les

courants élémentaires sont sur l'axe et qu'elles s'additionnent directement. Quant aux

composantes , elles sont dirigées dans différentes directions perpendiculairement à cet axe

de sorte que, par symétrie, leur contribution est nulle sur cet axe (prenez vraiment garde à ce

cas particulier).

Nous obtenons :

(36.47)

C'est une intégrale scalaire effectuée sur tous les courants élémentaires. Nous obtenons d'après

la loi de Biot-Savart :

(36.48)

De plus, nous avons selon le schéma :

(36.49)

En combinant ces relations, nous obtenons :

(36.50)

La figure révèle que r et ne sont pas des variables indépendantes. Nous pouvons les

exprimer en fonction de la nouvelle variable x, la distance entre le centre de la boucle et le

point P. Les relations entre ces variables sont :

(36.51)

En substituant ces valeurs dans l'expression de , nous obtenons :

(36.52)

Nous remarquons que, pour tous les courants élémentaires, I,R,x ont respectivement les mêmes

valeurs. L'intégration de cette différentielle donne :

(36.53)

Une point important de cette relation est en où nous obtenons donc :

(36.54)

Un autre cas d'application important de la loi de Biot-Savart consiste à reprendre l'exemple

précédent, mais pour une forme continue plane quelconque et considérée comme ponctuelle et

dont nous aimerions connaître la valeur du champ ailleurs que sur l'axe de symétrie. Les

résultats seront très utiles lorsque nous étudierons le physique quantique corpusculaire et donc

les propriétés magnétiques des métaux.

DIPÔLE MAGNÉTIQUE

Le dipôle magnétique a tout comme en électrostatique, une énorme importance dans l'étude

des propriétés magnétiques des matériaux pour lesquelles il permet d'élaborer de bons

modèles théoriques.

Avant de lire ce qui va suivre, nous conseillerions au lecteur (c'est même plus qu'un conseil) de

lire le absolument tout le développement du dipôle électrostatique rigide dans le chapitre

d'Électrostatique. Effectivement, la plupart des calculs qui vont suivre comportement les mêmes

raisonnements, développements et approximations mathématiques à quelques infimes nuances

près. Nous n'avons dès lors pas souhaité refaire les mêmes calculs intermédiaires déjà présent

lors du calcul du dipôle électrostatique (cependant, si vraiment il y a difficulté de la part du

lecteur, nous sommes prêts à compléter... mais bon...).

Le dipôle magnétique a une différence non négligeable relativement au cas pratique que nous

nous imposons comme cadre d'étude... il n'y pas 2 charges ! Effectivement, des charges au

repos émettent en première approximation (c'est expérimental et... théorique) un champ

magnétique intrinsèque beaucoup trop faible pour être considéré comme intéressant dans le

cadre de l'étude des propriétés magnétique des matériaux. Il convient cependant de préciser

quelque chose d'intéressant (de sympa), les charges coulombiennes élémentaires sont parfois

modélisées (à tort!) par les physiciens comme en rotation sur elles-mêmes (le "spin") et sont

représentées comme une superpositions de spires circulaires (tiens... une spire...) en infiniment

petites ce qui fait qu'un observateur dans un référentiel au repos (au centre de la charge ) peut

interpréter la charge coulombienne globale comme étant un courant en déplacement dans les

différentes spires, induisant ainsi un champ magnétique intrinsèque (joli non !?).

Bref, considérons un spire plane (tiens... une spire...), de forme quelconque, de centre O,

parcourue par un courant permanent et constant dont un des points de la spire est notée

par P. Nous allons calculer le champ magnétique créé par cette spire en tout point M de

l'espace, situé à grande distance de la spire (précisément, à des distances grandes comparées à

la taille de la spire).

Remarque: Personnellement il y a certaines étapes du calcul que je trouve... comment dire... de

très loin pas convaincantes... mais bon... il y a tellement d'approximations que l'on est plus à ça

près... hummm....

Nous posons :

(36.55)

Nous allons dont utiliser la loi de Biot-Savart dans la limite appartenant à la spire :

(36.56)

Mais donc :

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