Notes sur la loi de Biot-Savart - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la loi de Biot-Savart - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur la loi de Biot-Savart - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les remarques, L'origine du champ magnétique.
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(36.57)

Évaluons le terme pour des points M situés à grande distance de la spire :

(36.58)

où nous avons fait comme le dipôle électrostatique rigide un développement limité à l'ordre 1.

Remarque: La dernière approximation est très grossière dans le sens qu'il s'agit d'un choix

astucieux des termes à négliger pour arriver à un résultat esthétique visuellement et permettant de

définir le moment magnétique dipolaire (voir un peu plus loin)...

En reportant cette expression dans la loi de Biot-Savart, nous obtenons :

(36.59)

Évaluons séparément chaque terme intervenant dans la parenthèse :

1.

puisque le vecteur est indépendant du point sur la spire et que nous faisons une

intégration curviligne sur toute la spire, en revenant au point de départ.

2.

De par les propriétés du produit vectoriel :

(36.60)

Or puisque et sont perpendiculaires, nous avons qui est la surface

infinitésimale dS' d'un carré et cela ne représente rien étant donné que l'abscisse est curviligne

par rapport à O. Effectivement :

(36.61)

Donc, nous pouvons écrire :

(36.62)

où est le vecteur normal au plan de la spire (vecteur de base de l'axe Z). Ce résultat est

général, valable quelque soit la surface.

D'où :

(36.63)

3.

de par les propriétés du produit vectoriel.

Prenons une surface S plane quelconque. Sur cette surface, nous avons :

(36.64)

puisque nous revenons au même point de départ. Nous avons donc l'égalité :

(36.65)

Nous allons utiliser ces relations pour calculer l'intégrale inconnue du début. Si nous

décomposons les vecteurs et dans la base engendrant le plan de la spire, nous

obtenons :

(36.66)

or :

(36.67)

D'où :

(36.68)

De par l'égalité , nous avons :

(36.69)

Rappel :

(36.70)

Sous forme de composantes (seulement la troisième est non nulle), nous avons :

(36.71)

d'où :

(36.72)

Ce qui nous amène à écrire :

(36.73)

En rassemblant ces résultats, nous obtenons pour le champ magnétique :

(36.74)

Nous voyons donc apparaître une grandeur importante car décrivant complètement la spire vue

depuis une grande distance, à savoir le "moment magnétique dipolaire" :

(36.75)

souvent noté aussi par un M par certains auteurs.

En faisant usage de la propriété suivante du produit vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

(36.76)

Nous obtenons alors l'expression du champ magnétique approximative créé par un dipôle :

(36.77)

à comparer (pour le fun) avec l'expression du champ électrique pour un dipôle électrique rigide

:

(36.78)

Nous sommes quand même arrivés à mettre cela sous une forme assez identique et esthétique

après quelques approximations...

Nous avons aussi :

(36.79)

d'où :

(36.80)

L'origine du champ magnétique d'un matériau quelconque doit être microscopique. En utilisant

le modèle de Bohr de l'atome (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire), nous pouvons

nous convaincre que les atomes (du moins certains) ont un moment magnétique dipolaire

intrinsèque. Effectivement, le modèle de Bohr de l'atome d'Hydrogène consiste en un électron

de charge en mouvement (circulaire) autour d'un noyau centre (un proton) avec une

période .

Si nous regardons sur des échelles de temps longues par rapport à T, tout se passe comme s'il

y avait un courant :

(36.81)

Nous avons donc une sorte de spire circulaire, de rayon moyen la distance moyenne au proton,

c'est à dire le rayon de Bohr . L'atome d'Hydrogène aurait donc un moment magnétique

intrinsèque :

(36.82)

où est le moment cinétique de l'électron et q/2m le "facteur gyromagnétique". Ce

raisonnement peut se généraliser aux autres atomes. En effet, un ensemble de charges en

rotation autour d'un axe vont produire un moment magnétique proportionnel au moment

cinétique total. Cela se produit même si la charge totale est nulle (matériau ou atome neutre) :

ce qui compte c'est l'existence (scalaire) d'un courant.

Du coup, nous pouvons expliquer qualitativement les propriétés magnétiques des matériaux en

fonction de l'orientation des moments magnétique des atomes qui les composent :

- Matériaux amagnétiques: ce sont les matériaux où les moments sont distribués

aléatoirement, il n'y a pas de champ magnétique intrinsèque.

- Matériaux diamagnétiques: ce sont la matériaux qui soumis à un champ magnéatique, ont

leur moment qui s'opposent à celui-ci et sont donc repoussés (très faiblement) par les aimants.

Ils induisent donc un moment magnétique opposé à la direction du champ magnétique.

- Matériaux paramagnétiques: ce sont les matériaux pour lesquels les moments peuvent

s'orienter dans la direction d'un champ magnétique extérieur et pouvant donc être ainsi

aimantés (attirés) momentanément. Ils induisent donc un moment magnétique dans la direction

du champ magnétique.

- Matériaux ferromagnétiques : ce sont les matériaux dont les moments sont déjà orientés dans

une direction particulière, de façon permanente (aimants naturels).

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