Notes sur la loi de FIck, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la loi de FIck, Notes de Physique

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Notes de physique sur la loi de FIck. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la première loi de Fick, la deuxième loi de Fick.
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Nous avons vu dans le chapitre de Thermodynamique la démonstration de l'équation de propagation

de la chaleur proposée par Fourier en 1822 obtenue à partir de l'équation de continuité. Nous avions

obtenu (il est très recommandé au lecteur de s'y référer à nouveau ne serait-ce que pour lire les

remarques relatives à la démonstration):

(32.143)

En sa basant sur les mêmes hypothèses que Fourier, Fick proposa en 1855 qu'un flux de particules

pourrait se diffuser à travers un matériau selon une loi similaire, la "deuxième loi de Fick", de la

forme:

(32.144)

où la constante de proportionnalité est le "coefficient de diffusion de la matière" et la densité de

particules par unité de volume (et non la densité de masse!).

Remarque:En pratique, la diffusion joue un rôle essentiel dans la fabrication de céramique, de

semi-conducteurs (dopage), de cellules-solaires et dans la solidification des métaux (traitement

au carbone et à la chaleur). Car lorsque deux matériaux chauffés sont mis en contact, leurs

atomes diffusent l'un dans l'autre.

Il faut comprendre que tout diffuse dans tout! Donc pensez aux pesticides sur les fruits et

légumes, à la pollution dans les nappes phréatiques, au PET dans les boissons...

Dès lors, la relation du flux surfacique de chaleur que nous avions utilisée en thermodynamique (voir

chapitre du même nom) pour obtenir la loi de Fourier et qui était:

(32.145)

peut alors s'écrire certainement aussi (nous allons le démontrer) dans la cas de la masse sous la

forme d'un flux surfacique de particules appelé "première loi de Fick":

(32.146)

où D est le coefficient de transport de la matière (à déterminer...).

Remarque: Au fait, Fick démontra d'abord la première loi et en procédant en tous points de

manière identique à l'équation de la chaleur il obtint la deuxième loi qui porte son nom.

Les coefficients sont appelés globalement "coefficients de transports" et respectivement

"coefficient de diffusion thermique" dans le domaine de la chaleur et "coefficient de diffusion" dans

le domaine de la matière.

Nous pouvons estimer les valeurs de ces coefficients à l'aide d'un modèle microscopique simple.

Considérons pour cela une tranche de fluide (flux de chaleur et flux de masse sont considérés

comme un fluide) perpendiculaire à l'axe des x et d'épaisseur où correspond au libre

parcours moyen (projeté selon x), dans laquelle existe un gradient de concentration dirigé selon

l'axex. Déterminons le courant de ce gradient à travers la section S d'abscisse x.

Pour faire simple, nous pouvons considérer que, parmi toutes les particules se trouvant entre

l'abscisse et x, un tiers, ont leur vitesse dirigée selon x (les deux autres tiers étant sur y etz),

et parmi ces dernières, la moitié a une vitesse positive (finalement nous devons considérer le 1/6 par

direction).

Comme est le libre parcours moyen, ces dernières particules franchiront la section S sans avoir

subi de collision: elles participeront donc au courant de diffusion.

Notant la concentration volumique à l'abscisse (et considérant que cette

concentration est constante entre et x, ce qui, vu l'ordre de grandeur de , est à peu près

vérifié). Le nombre de particules se trouvant entre les abscisses et x et traversant

effectivement la section s vaut alors:

(32.147)

Cette traversée prend un temps égal à , où est la vitesse moyenne d'agitation thermique.

Par conséquent, la densité de courant circulant de la gauche vers la droite vaut:

(32.148)

En procédant de la même manière pour les particules se trouvant à droite de x, nous obtenons pour

la densité de courant circulant de droite à gauche:

(32.149)

La densité de courant totale circulant à travers S vaut donc:

(32.150)

Or, nous pouvons aussi écrire cela sous la forme:

(32.151)

Si est très petit, nous pouvons écrire:

(32.152)

Vu les simplifications apportées au modèle, le facteur 3 a toutes les chances d'être peu réaliste. En

revanche, la relation de proportionnalité entre gradient de concentration et courant de diffusion est

tout à fait crédible, Nous écrirons finalement en généralisant à l'espace:

(32.153)

où D est alors donné par:

(32.154)

est la constante de diffusion massique. Comme D est positive, nous constatons que le mouvement

de diffusion des particules a lieu dans le sens opposé au gradient, ce qui tend bien à homogénéiser

les concentrations.

Remarque: Si nous souhaitons obtenir le flux de charge, il suffit de multiplier la relation obtenue

à gauche et à droite par la charge élémentaire.

Nous pouvons également estimer le flux d'énergie thermique transporté par ces mêmes particules

selon x. En effet, dans chaque tranche de fluide, n particules transportent chacune une

énergie Ecorrespond à une quantité de chaleur Q donnée (selon la loi de Joule). Nous avons donc un

flux surfacique d'énergie dont la première composante est donnée par le même type de bilan

que les développements précédents:

(32.155)

Nous y trouvons immédiatement la définition de la capacité calorifique (si nous divisons par la masse

nous aurions la capacité calorifique massique selon ce que nous avons vu dans le chapitre de

Thermodynamique). Ainsi, dans le cas unidimensionnel:

(32.156)

Il y a donc un simple rapport de proportionnalité entre et C.

Remarque: Selon les auteurs le flux est noté avec le symbole de la densité de courant, soit .

Faisons un petit tableau récapitulatif pour les quelques lois de diffusion démontrées jusqu'à

maintenant sur ce site (dans leurs chapitres respectifs) en utilisant la notation la plus courante en

physique (et non celle des thermodynamiciens...):

Loi de Fourier Loi de Fick Loi d'Ohm

Thermodynamique Mécanique Statistique Électrocinétique

Densité de courant thermique

T : température Densité de courant particulaire

: concentration

Densité de courant électrique

U: potentiel électrique

: conductivité thermique D: coefficient de diffusion

: conductivité électrique

flux thermique:

flux de particules:

flux de courant électrique:

Tableau: 322 - Similitudes des différentes lois de diffusion en physique

page suivante : 5. Mouvement brownien

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