Notes sur la loi de Lorentz - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la loi de Lorentz - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur la loi de Lorentz - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les équations, les démonstrations, l'effet hall classique.
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En électrostatique, nous avons calculé la force exercée par une ou un ensemble de charges au

repos sur une charge immobile ou en mouvement. La force exercée s'écrivait alors de la

manière suivante:

(36.83)

Dans le cas le plus général, où les charges agissantes sont en mouvement, la force qu'elles

exercent sur une charge ponctuelle qplacée en un point de l'espace est la somme de deux

termes : l'un qui est indépendant de la vitesse de cette charge, l'autre qui en dépend. Voici

comment s'écrit cette relation :

(36.84)

qui n'est d'autre que la "loi de Lorentz" ou "force de Lorentz".

Pour démontrer cette relation, nous allons poser deux hypothèses mais avant il est important

d'informer le lecteur que cette démonstration nécessite des outils mathématique non

nécessairement évidents (il faut avoir lu le chapitre de Mécanique Analytique et de Physique

Quantique Ondulatoire pour comprendre) :

H1. Soit une particule ponctuelle non-relativiste de masse m, de position et de

vitesse ; nous supposons qu'elle est soumise à une force et qu'elle satisfait les

équations de Newton:

(36.85)

avec les relations de commutations suivantes (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire):

(36.86)

Il faut bien voir que la dernière relation est une hypothèse et qu'elle n'est pas équivalente aux

règles de commutation que nous avons vues en physique quantique entre positions et

impulsions!

H2. Il existe des champs et , ne dépendant pas des vitesses, tels que:

(36.87)

et qui vérifient les équations de Maxwell (cf. chapitre d'Électrodynamique) :

(36.88)

A un niveau classique, nous exprimons les hypothèses de commutation en utilisant la

correspondance commutateurs-crochet de Poisson (cf. chapitre de Mécanique Analytique), soit:

(36.89)

avec (rappel):

(36.90)

Maintenant, nous définissons un potentiel vecteur (cf. chapitre d'Électrodynamique) tel que:

(36.91)

alors l'hypothèse ( ) de commutation peut s'écrire:

(36.92)

donc nous pouvons dire que ne dépend que de et t puisqu'il commute identiquement

à .

De plus, nous savons que la mécanique classique admet une formulation lagrangienne

(équivalent aux équations de Newton) pour laquelle les équations de la mécanique deviennent

(cf. chapitre de Mécanique Analytique):

(36.93)

où L désigne le lagrangien du système. Dès lors, avec:

(36.94)

nous pouvons intégrer la relation :

(36.95)

et nous obtenons:

(36.96)

Le signe "-" de la constante d'intégration du potentiel vecteur se justifie pour être en cohérence

avec ce que nous avons vu en théorie de Jauge (cf. chapitre d'Électrodynamique).

La seconde équation de Lagrange nous donne alors:

(36.97)

En développant un peu:

et (36.98)

Pour l'ensemble des coordonnées, cela donne sous forme condensée et en utilisant les outils de

l'analyse vectorielle:

(36.99)

Donc:

(36.100)

ou autrement écrit:

(36.101)

Nous retrouvons donc bien l'expression de la force de Lorentz où et sont donnés par:

(36.102)

comme nous l'avons vu en théorie de Jauges. Certes la démonstration est loin d'être évident

mais elle est possible.

Arrêtons-nous un instant sur l'expression de la force de Lorentz. Nous voyons avec cette

relation, qu'une charge immobile (ou non) dans un champ électrique subira une force qui lui

donnera l'impulsion nécessaire à faire varier son énergie cinétique (nulle ou non nulle au

départ). Cette constatation n'est cependant pas valable pour le champ magnétique.

Effectivement, lorsque nous plaçons une charge immobile dans un champ magnétique, cette

dernière ne subira aucune force du champ magnétique et donc ne verra pas son énergie

cinétique varier. Si la particule chargée à une vitesse initiale non nulle, il s'ensuit que le champ

magnétique va changer les composantes du vecteur vitesse mais pas la norme. Ainsi, nous

avons pour habitude de dire que : "le champ magnétique ne travaille pas".

Démonstration:

(36.103)

Donc :

(36.104)

L'énergie cinétique de la particule ne change donc effectivement pas à cause du champ

magnétique.

Maintenant, si nous nous intéressons uniquement au second terme de cette relation, nous

pouvons arriver à démontrer la loi de Laplace :

Nous avons:

(36.105)

où est la densité volumique de charge. Si et sont supposés parallèles nous pouvons

écrire que:

(36.106)

Une densité de courant nous permet de calculer la vitesse d'entraînement des porteurs de

charges dans un conducteur. Le nombre d'électrons de conduction dans un fil est égal à:

(36.107)

où n est le nombre d'électrons de conduction par unité de volume et le volume du fil.

Une quantité de charges traverse un fil en un temps t donné par:

(36.108)

L'intensité I du courant étant définie par:

(36.109)

nous obtenons que:

(36.110)

De:

(36.111)

Nous pouvons maintenant tirer que:

(36.112)

Enfin, nous trouvons que:

(36.113)

qui est la "loi de Laplace" ou "force de Laplace".

Voyons quelques cas importants d'application de la loi de Lorentz :

EFFET HALL CLASSIQUE

Précédemment, nous avons étudié l'action d'une induction magnétique sur un circuit filiforme

en ayant pour but de trouver l'expression des forces magnétiques appliquées à la matière

même de ce circuit.

Portons maintenant notre attention sur les électrons de conductivité eux-mêmes, en nous

plaçant dans le cas de la figure ci-dessous:

(36.114)

où un ruban métallique est parcouru par un courant continu . Le vecteur densité de

courant est constant et parallèle aux grands côtés PQ ou RS du ruban.

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