Notes sur la loi de Lorentz - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la loi de Lorentz - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur la loi de Lorentz - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le rayon de larmor, la relation.
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Imaginons alors que le ruban soit plongé dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire

aux plans PQ et RS(selon l'axe Z). Les charges mobiles de densité volumique contenues dans

un élément de volume dV sont donc soumises à la force magnétique :

(36.115)

Cette force modifie les trajectoires des électrons mobiles et, au cours d'un régime transitoire,

provoque leur accumulation sur le bord avant du ruban tandis qu'un excès de charges positives

apparaît sur le bord arrière.

Ce phénomène produit un champ électrique supplémentaire parallèle à RP qui exerce sur les

charges mobiles du volume une force électrique:

(36.116)

Les deux forces s'opposent donc l'une à l'autre et la force coulombienne tend à ramener les

trajectoires électroniques dans leur position initiale. Un régime permanent s'établit peu à peu.

Remarque: En fait, à chaque fois que nous parlons de régime permanent en physique, nous

mentons un peu. Il s'agit au fait juste d'un équilibre stable et en général, le système oscille autour

de sa position d'équilibre. Au bout d'un certain temps, un système comme le conducteur impliqué

dans notre exemple montre des oscillations négligeables. La physique c'est aussi parfois qu'une

question d'approximations...

Quand ce régime est atteint, la densité de courant est à nouveau parallèle à PQ et les forces

électriques et magnétiques ci-dessus sont vectoriellement opposées. Nous avons donc :

(36.117)

avec :

(36.118)

Dans certains ouvrages cette égalité est notée sous forme de ses composantes telle que :

(36.119)

Or, comme nous l'avons démontré dans le chapitre d'Électrocinétique:

(36.120)

dès lors :

(36.121)

Nous définissons alors le "coefficient de Hall" par :

(36.122)

peut être aussi bien utilisé à l'équilibre pour la mesure de que par extension si nous

supposons alors donc à la mesure de la densité de porteurs dans

l'échantillon.

Remarque: Nous parlons également de "résistance de Hall". Il s'agit simplement du rapport de la

tension de Hall sur le courant circulant dans l'échantillon. Il ne faut cependant pas confondre la

résistance de Hall avec . Notons que la résistance de Hall varie linéairement avec le champ

magnétique.

Dans un semi-conducteur à deux dimensions, l'effet Hall est également mesurable. Par contre,

à suffisamment basse température, nous observons une série de plateaux pour la résistance

Hall en fonction du champ magnétique. Ces plateaux apparaissent à des valeurs précises de

résistance, et ce, indépendamment de l'échantillon utilisé. Ceci fait l'étude de "l'effet Hall

quantique" que nous n'étudierons pas dans ce chapitre.

Sous forme scalaire la relation de "l'effet Hall", encadrée ci-dessus, s'écrit:

(36.123)

Nous pouvons aussi l'exprimer en explicitant la différence de potentiel qui correspond par

définition au champ électrique.

Si l est la largeur du ruban, nous avons:

(36.124)

Si e est son épaisseur, le courant I qui le parcourt est:

(36.125)

Compte tenu des positions relatives des divers vecteurs, la relation exprimant l'effet Hall

équivaut donc à:

(36.126)

Plus esthétiquement et sous une forme traditionnelle, la tension de l'effet Hall est donnée par:

(36.127)

avec:

(36.128)

qui est la "constante de Hall". Elle est inversement proportionnelle à la densité des porteurs

libres et dans le cadre des métaux elle est négative.

Dans d'autres domaines d'étude comme celui des semi-conducteurs, nous écrivons la tension

de Hall sous la forme traditionnelle:

(36.129)

où q est la charge de l'électron et n la notation traditionnelle (sic!) de la densité de porteurs

dans le cadre de l'étude des semi-conducteurs.

Nous avons alors dans ce dernier domaine la constante de Hall qui est définie par:

(36.130)

Ce qui a fait cependant la renommée de l'effet Hall, outre le fait que ce résultat est utilisé pour

fabriquer des sondes de champs magnétiques, c'est que pour certains types de semi-

conducteurs cette constante de Hall est positive!!!! Ce qui signifierait avec les modèles

standards que nous avons à notre disposition jusqu'à maintenant, qu'il y aurait des charges

positives qui feraient office de courant... et à l'époque de la mise en place de cette expérience,

ceci était inexplicable.

Or nous verrons plus tard qu'en utilisant la théorique quantique dans le cadre des semi-

conducteurs que des charges positives peuvent pourtant sous certaines conditions apparaître et

être à l'origine d'un courant!

RAYON DE LARMOR

Un cas très intéressant d'étude de laboratoire est le mouvement d'une charge dans un champ

magnétique uniforme. Pour cette étude, considérons une particule de masse m et de

charge q placée dans un champ magnétique uniforme avec une vitesse initiale .

Nous avons selon la loi de Lorentz :

(36.131)

Puisque la force magnétique est nulle dans la direction du champ, cette direction est privilégiée.

Nous allons donc tirer parti de cette information et décomposer la vitesse en deux

composantes, l'une parallèle et l'autre perpendiculaire au champ, . L'équation du

mouvement s'écrit alors :

(36.132)

La trajectoire reste donc rectiligne uniforme dans la direction du champ ! Prenons un repère

cartésien dont l'axe Zest donné par la direction du champ magnétique tel que .

L'équation du mouvement ne s'écrit dès lors que plus que sur deux composantes puisque :

(36.133)

d'où :

(36.134)

Une solution très simple à ces deux équations différentielles est dans un cadre non relativiste :

(36.135)

où nous avons donc choisi une vitesse initiale suivant X. En intégrant, nous obtenons :

(36.136)

où les constantes d'intégration ont été choisies nulles (choix arbitraire). La trajectoire est donc

un cercle de rayon :

(36.137)

appelé "rayon de Larmor", décrit avec la pulsation :

(36.138)

dite "pulsation gyro-synchrotron". Ce cercle est parcouru dans le sens conventionnel positif

pour des charges négatives.

Le problème d'une telle configuration pour construire un accélérateur, c'est que si nous

augmentons l'énergie de la particule (en ajoutant un champ électrique synchronisé sur la

pulsation gyro-synchrotron et colinéaire au mouvement), sa vitesse augmente mais le rayon de

Larmor aussi. Or, le "cyclotron" qui est basé sur ce système a un rayon limité puisqu'il est

difficile de maintenir un champ magnétique constant sur une grande surface.

Plus difficile encore, dans le cas relativiste, la pulsation s'écrit avec le facteur de Fitzgerald-

Lorentz (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

(36.139)

Nous voyons alors qu'il faut ajuster la pulsation du champ électrique à la pulsation de rotation

lorsque la vitesse augmente: l'accélérateur est maintenant un "synchrocyclotron".

Pour résoudre le problème de l'augmentation du rayon, nous utilisons alors un "synchrotron"

constitué d'un tube à vide unique comportant de sections droite contenant des cavités

accélératrices et des section cours équipées d'aimants créant à chaque instant le champ

magnétique adapté à la vitesse des particules. Cette technique, dont il est facile de parler mais

très difficile à mettre en pratique, est la plus utilisée à nos jours. Le LHC du CERN fait partie de

la famille des synchrotrons

A partir de cette relation il est inversement aisé d'avoir l'énergie cinétique de la particule:

(36.140)

C'est sur la base de cette relation que fonctionnent les "spectromètres de masse de Dempster".

C'est en utilisant cette technique que les chercheurs ont découvert dans les années 1920 que

les atomes d'un même élément chimique n'ont pas nécessairement la même masse. Les

différentes variétés d'atomes d'un même élément chimique, variétés qui diffèrent par leur

masse, sont les isotopes (cf. chapitre de Physique Nucléaire).

Le rayon de Larmor correspond à la distance la plus grande que peut parcourir une particule

dans la direction transverse avant d'être déviée de sa trajectoire. Cela correspond donc à une

sorte de distance de piégeage. A moins de recevoir de l'énergie cinétique supplémentaire, une

particule chargée est ainsi piégée dans un champ magnétique.

Il est intéressant de noter que l'énergie cinétique transverse d'une particule est élevée (grande

masse ou grande vitesse transverse) et plus le rayon de Larmor est grand. Inversement, plus le

champ magnétique est élevé et plus ce rayon est petit.

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