Notes sur la loi de Newton généralisée, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la loi de Newton généralisée, Notes de Physique

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Notes de physique sur loi de Newton généralisée. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le cas d'un objet lancé en l'air, Le principe de moindre action, la formulation de l'action, la puissance, le rendement.
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LOI DE NEWTON GENERALISÉE

Revenons maintenant un petit peu à notre principe de moindre action dont nous avons parlé au tout

début de cette section:

Prenons le cas d'un objet lancé en l'air et repérons deux points de sa trajectoire en deux instants

quelconques. Une infinité de courbes passent entre ces deux points et pourtant la nature n'en choisit

qu'une seule. Qu'est-ce qui distingue cette courbe - la trajectoire physique - de toutes les autres? A

cette question nous pourrions, très justement, répondre que cette courbe se distingue des autres

par le fait qu'elle est solution de l'équation différentielle de la trajectoire ... avec les conditions

initiales appropriées. Mais dans le cas où nous ignorons les conditions initiales ou lorsque le

problème ne peut être ramené à une équation différentielle, par quel moyen pouvons-nous alors

distinguer la trajectoire physique de tous les chemins possibles?

Le principe de moindre action s'exprime dans ce contexte par un minimum de vitesse pour un

minimum de chemin parcouru.

En fait de vitesse, il convient mieux en mécanique de considérer la quantité de mouvement car cette

dernière grandeur est directement liée aux propriétés inertielles des corps. Mathématiquement

Maupertuis traduisit le principe de moindre action comme suit.

Si nous considérons le mouvement d'un corps entre deux points A en et B en , pour une

énergie totale Edonnée, la trajectoire sélectionnée par la nature est celle pour laquelle la

grandeur suivante est minimale:

(30.302)

La trajectoire physique entre deux points A et B aux instants et est celle pour laquelle l'action

est minimale.

En sachant que :

(30.303)

nous obtenons alors:

(30.304)

où T est l'énergie cinétique du corps.

Nous le voyons, l'action prend une forme étonnamment simple et s'exprime directement en fonction

de l'énergie cinétique. Quelques années plus tard, à partir d'une intuition semblable à celle de

Maupertuis, Euler parvint à un énoncé très similaire de l'action mais en partant du constat que les

corps tendent à adopter un état où l'énergie potentielle est minimale. L'action d'Euler s'exprimait en

fonction de l'énergie potentielle au lieu de l'énergie cinétique. Qui de Maupertuis ou d'Euler avait tort

et raison?

En fait, leurs énoncés respectifs de l'action étaient équivalents. Nous savons que dans un champ

conservatif, si nous appelons U l'énergie potentielle alors l'énergie totale E vaut T + U et cette

énergie est une constante. Nous en tirons que T = E - U et que donc :

2T = T + E - U (30.305)

D'où:

(30.306)

Cette relation est vraie quel que soit le chemin d'énergie totale initiale E. Nous en concluons que la

valeur de la constante E ne permet pas de discriminer les différentes trajectoires et peut donc être

éliminée de la formulation de l'action. L'action de Maupertuis peut alors se réduire à une nouvelle

grandeur notée S:

(30.307)

Cette nouvelle formulation de l'action fut donnée par Lagrange en 1788. S s'appelle "l'action

lagrangienne" ou "action hamiltonienne" et la fonction :

(30.308)

porte le nom de "lagrangien mécanique". Ainsi formulé, le principe de moindre action devint l'un des

outils les plus puissants de la mécanique.

Nous avons déjà vu comment nous exprimons le principe de moindre action mathématiquement.

Dans le cas qui nous intéresse, l'action n'est pas une fonction de variables analytiques mais de

trajectoires!

Considérons le cas très simple d'un corps de masse m se mouvant sur une seule dimension (que

nous représenterons par un axe Ox) d'un point d'abscisse à l'instant à un point de

coordonnée à l'instant . Supposons qu'il est soumis à un potentiel U qui ne varie pas avec le

temps c'est-à-dire . L'action de ce corps sur un chemin C quelconque menant

de à est alors:

(30.309)

Soit le chemin physique et l'action sur ce chemin. Notons par les valeurs de la

position x sur le chemin physique. Considérons maintenant un chemin C très proche de tel que

les positions le long de C aient les valeurs que nous écrirons, pour alléger les

écritures .

Calculons l'action pour ce chemin:

(30.310)

Comme est infiniment petit, il est possible de développer le potentiel en développement limité:

(30.311)

Quant au premier terme, il se ramène à:

(30.312)

Comme nous ne considérons que les variations du premier ordre, le dernier terme peut être négligé,

ce qui donne pour l'action sur le chemin C :

(30.313)

Posons maintenant que la variation de l'action entre le chemin physique et C est nulle :

(30.314)

et ainsi:

(30.315)

Le premier terme dans l'intégrale peut s'intégrer par parties comme suit:

(30.316)

Or, tous les chemins partent de à l'instant et arrivent à à l'instant . Ceci implique

qu'en et la variation est nulle ce que nous écrivons . Donc le premier

terme de l'intégration par parties est nul. La variation de l'action prend alors la forme:

(30.317)

Cette intégrale doit être nulle pour tous les chemins très proches du chemin physique , donc

quelle que soit la valeur de . Pour qu'une telle condition soit remplie il faut que le terme

devant soit nul, c'est-à-dire:

(30.318)

Or nous connaissons au fait cette équation: le premier terme n'est rien d'autre que où a est

l'accélération du corps, et le second - l'opposé du gradient du potentiel - est l'intensité de la force

en un point donné. Celle-ci se réduit donc à l'équation:

(30.319)

qui n'est autre que la seconde loi de Newton généralisée! Le principe de moindre action contient

donc implicitement la mécanique newtonienne. Ainsi, il est possible de reconstruire toute la

mécanique de Newton avec le seul principe de moindre action!!!

Cet échafaudage de calculs peut paraître bien compliqué pour aboutir à un résultat que nous

connaissions déjà mais tout l'intérêt du principe de moindre action réside dans le fait qu'il permet de

tirer des lois fondamentales à partir de la seule connaissance du lagrangien d'un système.

Les théories les plus récentes comme la théorie quantique des champs, les théories de jauge ou la

théorie des supercordes ont toutes pour point de départ l'expression de l'action du système. Les

physiciens en dégagent ensuite des lois fondamentales qui régissent le comportement des particules

élémentaires.

PUISSANCE

Définition: La puissance est le taux instantané de variation du travail (énergie sous forme

quelconque). Nous avons donc la "puissance instantanée" donnée par :

(30.320)

Si le travail est fourni de façon régulière, constant, nous avons alors la "puissance moyenne",

constante :

(30.321)

Remarques:

R1. L'unité de la puissance est le "Watt" et se note [W] mais en technique, certains utilisent

encore souvent le "cheval" [ch] défini comme suite :

R2. En exprimant le travail (énergie) à partir de l'équation , où la puissance est donné en

[kW] et le temps en heures, il apparaît alors l'unité d'énergie [kWh] (kilowattheure), très utilisée

en pratique.

PUISSANCE D'UNE MACHINE TOURNANTE

Le travail élémentaire dW effectué par la force faisant tourner le solide (un cylindre dans la cas

présenté de suite) autour de son axe d'une angle vaut :

(30.322)

La puissance instantanée est alors :

(30.323)

Or, moment de la force (supposée dans ce cas particulier perpendiculaire à ), donc

"moment de rotation". La puissance est alors donnée par :

(30.324)

RENDEMENT

A cause des frottements, la puissance restituée par une machine appelée aussi "puissance utile", est

toujours inférieure à la puissance absorbée. Nous tenons compte de cet effet au moyen du

rendement défini par :

(30.325)

Nous y reviendrons beaucoup plus en détail lors de notre étude de la thermodynamique.

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