Notes sur la loi de Planck - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la loi de Planck - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur la lloi de Planck - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: un système isolé à l'équilibre thermique, les conditions aux limites périodiques, la loi de Planck, la loi de Rayleigh...
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Nous considérons maintenant le corps noir comme un système isolé à l'équilibre thermique, dans

lequel le rayonnement est à l'état stationnaire et réfléchi totalement par les parois. Les photons

peuvent être dès lors considérés comme des particules n'interagissant pas entre elles dans un puits

de potentiel à parois rectiligne

Ainsi, identiquement à ce que nous avons vu dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire, la

résolution du problème est celui d'un puits de potentiel à parois rectilignes pour laquelle nous

avions obtenu pour fonction d'onde :

(33.258)

à propos de laquelle il faut appliquer les conditions aux limites.

Les conditions que nous avions imposées lors de notre étude de ce cas en physique quantique

ondulatoire étaient trop restrictives (c'est la raison pour laquelle elles sont appelées "conditions aux

limites strictes"). Effectivement, les atomes de la paroi absorbent et émettent le rayonnement quel

que soit la manière dont le rayonnement est incident. Mais l'équilibre impose au moins qu'elles

soient que les conditions aux limites soient périodiques de par la définition même de l'équilibre.

C'est la raison pour laquelle nous imposons ce que nous appelons les "conditions au limites

périodiques" :

- pour et , nous avons :

- la fonction d'onde doit présenter un nombre entier de demi-longueur d'onde sur la longueur

- dans le corps noir, donc

- si aux extrémités ( et ) nous avons l'argument du sinus à la même

valeur (à un facteur multiplicatif réel près) en 0 et en .

Donc nous devons avoir :

(33.259)

et comme , après quelques simplifications élémentaires, nous avons :

(33.260)

L'énergie totale de la particule présente donc une suite discrète de valeurs, les seules permises. La

valeur de L est quant à elle déterminée à l'aide du modèle de Bohr ou de Sommerfeld en fonction des

cas.

Puisque les fonctions d'onde correspondantes dans le puits sont , nous avons

donc:

(33.26

1)

Ainsi, l'énergie totale peut s'écrire :

(33.262)

Ainsi, étant donné que la fonction d'onde est une probabilité conditionnelle, nous avons sous forme

de phaseur :

(33.263)

et les énergies discrètes associées sont alors :

(33.264)

Le vecteur étant donc défini par :

(33.265)

Remarque: Nous constatons facilement que les écarts d'énergie entre niveaux consécutifs sont

d'autant plus faibles que les dimensions du corps noir (assimilé à une boîte) sont plus

grandes; pour des dimensions macroscopiques, ces écarts sont alors totalement inappréciables.

Ce constat nous permettra un peu plus loin de faire une petite approximation.

Explication : Pour un électron ( ) enfermé dans une boîte cubique de côté ,

l'écart entre deux niveaux consécutif est :

(33.266)

donc environ ...

Les vecteurs qui nous intéressent (puisqu'ils représentent respectivement chacun un micro-état

possibles), plongé dans l'espace des phases des nombre d'onde, ont leur extrémité situées en l'un

des noeuds d'un réseau tridimensionnel constitué de mailles élémentaires dont les arêtes sont

parallèles aux axes et qui mesurent respectivement . Nous voulons évaluer le

nombre de vecteurs pour lesquels cette extrémité tombe dans l'intervalle entre les deux sphères

centrées à l'origine et de rayons de norme K et K + dK. Le volume de la coquille sphérique comprise

entre les deux sphères est donc trivialement donnée par :

(33.267)

Le nombre de mailles élémentaires (de micro-états) incluses dans cette région de l'espace des est,

à peu de chose près, égal au nombre de fois que son volume contient celui de la maille élémentaire,

qui vaut :

(33.268)

Nous obtenons ainsi le nombre de micro-états dans le volume (donc la densité de micro-états) :

(33.269)

Or, il ne faut pas oublier les relations suivantes (cf. chapitres de Mécanique Ondulatoire, Physique

Quantique Corpusculaire et Relativité Restreinte) :

(33.270)

Donc :

(33.271)

Il vient :

(33.272)

Dans un corps noir à l'équilibre thermodynamique, les photons forment un gaz dont les constituants

n'interagissent pas entre eux chimiquement. Ce type de situation est typiquement décrit par la

distribution de Bose-Einstein que nous avons vu en mécanique statistique. Ainsi, puisque ,

nous avons dans le cas d'un spectre discret d'états :

(33.273)

et dans un cas que nous considérons comme continu :

(33.274)

Dans le corps noir, nous avons pour énergie interne :

(33.275)

La radiation d'un corps noir est donc donnée par la "loi de Planck":

(33.276)

et puisque :

et (33.277)

donc :

(33.278)

Or, comme , il convient de prendre la valeur absolue tel que :

(33.279)

Enfin, nous obtenons encore une autre forme de la loi de Planck qui exprime la densité de flux

d'énergie pour une longueur d'onde précise est donnée :

(33.280)

Remarque: Planck a proposé cette loi en 1900 sans connaître la distribution statistique de Bose-

Einstein ce qui est remarquable expérimentalement parlant!

Si (donc dans le domaine des grandes longueurs d'ondes), le développement de Taylor de

pour x petit donne donc :

(33.281)

Ce qui nous donne :

(33.282)

et la loi de Planck devient donc la "loi de Rayleigh-Jeans":

(33.283)

Que nous retrouvons aussi parfois sous la forme :

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