Notes sur la loi de Planck - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la loi de Planck - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur la loi de Planck - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la loi de Planck, la première loi de Wien, la deuxième loi de Wien.
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(33.284)

A l'inverse, nous avons :

Ce qui nous donne :

(33.285)

et la loi de Planck devient donc :

(33.286)

qui n'est rien d'autre que la "première loi de Wien".

Nous pouvons également redémontrer la loi de Stefan (nous l'avons déjà fait en thermodynamique

mais avec une autre démarche) mais en plus démontrer la provenance de la constante de Stefan-

Boltzmann .

Rappelons que d'abord que le flux énergétique (cf. chapitre d'Optique Géométrique) est entre autres

donné par :

(33.287)

Comme la luminance dépend de la fréquence et donc de la température du corps émetteur, nous

pouvons ajouter :

(33.288)

L'énergie rayonnée à travers une surface élémentaire donnée est donc dès lors :

(33.289)

Si le volume d'émission est considéré comme un volume élémentaire assimilé à un cylindre

d'hauteurcdt et de sommet ayant pour surface (cf. chapitre d'Optique Géométrique) la

densité d'énergie est alors donnée par :

(33.290)

Compte tenu de l'isotropie du corps noir à l'équilibre, nous avons :

(33.291)

L'analyse dimensionnelle nous donne :

(33.292)

Enfin, il est utile de considérer la puissance totale émise par unité de surface (donc l'émittance) :

(33.293)

Si nous intégrons sur la demi-surface d'une sphère (par rapport au point de surface de l'émetteur) :

(33.294)

Effectivement pour une sphère (cf. chapitre de Trigonométrie) :

(33.295)

Comme la luminance est indépendante de (isotropie du rayonnement du corps noir), l'intégration

est élémentaire, et nous trouvons :

(33.296)

L'émittance totale est alors donnée par :

(33.297)

En posant , nous pouvons simplifier l'intégrande de sorte que :

(33.298)

Donc :

(33.299)

Franchement..., il était difficile de le deviner...

Déterminons pour quelle longueur fréquence, nous avons le maximum de densité d'énergie. En

d'autres termes cela revient à chercher où la dérivée :

(33.300)

s'annule. Donc :

(33.301)

Divisons par :

(33.302)

La dernière relation admet une seule racine positive que nous pouvons déterminer avec Maple

(evalf(solve(exp(-x)-1+1/3*x=0,x));) :

(33.303)

Ce qui nous donne la "deuxième loi de Wien" ou "loi de déplacement de Wien" :

(33.304)

où a est appelée "constante de Wien".

Remarque: Cette relation est aussi parfois donnée dans la littérature non pas par rapport à la

fréquence mais à la longueur d'onde.

Insistons sur le fait que la loi de Planck n'est valable que dans les cas où le rayonnement est à

l'équilibre thermique. Cette restriction est important dans la pratique, car la phénomènes d'émission

ou d'absorption de rayonnement par la matière se produisent le plus souvent dans des conditions

hors de l'équilibre : dans le cas par exemple de l'éclairage par une lampe électrique ou du chauffage

électrique par rayonnement infrarouge, il y a transformation irréversible (et donc hors d'équilibre)

d'énergie électrique en énergie de rayonnement; de même, le rayonnement solaire est produit par les

réactions nucléaires qui ont lieur à l'intérieur du soleil et qui consument peu à peu sa substance; au

niveau microscopique également, l'émission d'un photon par un atome excité est très souvent un

retour irréversible de l'atome à son état fondamental (émission spontanée hors d'équilibre). Dans le

cas du corps noir, au contraire, le rayonnement est confiné à l'intérieur d'une enceint fermée (nous

laissons éventuellement une fraction négligeable de ce rayonnement s'échapper à l'extérieur pour y

être soumise aux mesures) et nous pouvons ainsi parvenir à l'équilibre thermique avec les parois.

La loi de Planck que nous avons démontrée précédemment est parfaitement vérifiée par l'expérience

dans tout le domaine des températures accessibles à ce jour :

(33.305)

Nous remarquons qu'à la lecture du graphique ci-dessus, qu'un coprs chauffé entre 5'000 et 6'000

[K] a un pic d'émission au milieu du spectre visible. Dans le domaine de la colorimétrie, nous

associons une température à un couleur en cherchant la température du corps noir pour laquelle le

pic de radiation à son maximum dans la longueur d'onde de la couleur donnée.

Il est à noter que beaucoup de sources lumineuses émettent un flux lumineux qui ne suit pas la loi

du corps noir (un filament d'ampoule, par exemple) et que la loi de Wien ne s'applique pas à eux. En

revanche, il reste avéré qu'ils émettent à une longueur d'onde d'autant plus courte qu'ils sont

chauds.

Il faut également garder à l'esprit que le flux lumineux provenant d'un objet n'est pas forcément de

nature thermique ; autrement dit sa couleur ne renseigne pas toujours sur sa température. Par

exemple, la couleur du ciel provient de lumière solaire bleue diffusée par l'air et non d'une

hypothétique température de 15'000 [K]. De même un arbre est vert, non pas parce qu'il est à

8'000 [K], mais parce qu'il réfléchit la lumière verte qui compose la lumière du jour.

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