Notes sur la loi de réfraction, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la loi de réfraction, Notes de Physique

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Notes de physique sur la loi de réfraction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les définitions, l'effet tcherenkov (cerenkov), les remarques.
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Pierre de Fermat proposa que les rayons lumineux répondaient à un principe très général selon

lequel le chemin emprunté par la lumière pour se rendre d'un point donné à un autre était celui

pour lequel le temps de parcours était minimum (en fait un extremum qui peut être un

minimum ou un maximum). Cette proposition, appelée "principe de Fermat", à la base de

l'optique géométrique s'appuie sur le principe de moindre action (principe que nous avons déjà

introduit dans le chapitre de Mécanique Analytique) ce que nous démontrerons plus loin.

Définition: "L'indice de réfraction" d'un milieu à une longueur d'onde donnée mesure le facteur

de réduction de la vitesse de phase de la lumière dans le milieu par rapport au vide (la plus

grande qui soit).

Tous les matérieux possèdent ainsi un indice de réfraction, d'une valeur positive et supérieur à

1. Plus un milieu est dense, plus la vitesse de phase de la lumière est ralentie, plus l'indice de

réfraction est élevé.

Considérons (voir figure ci-dessous) deux milieux et d'indices de réfraction

respectifs n et m et dont la surface de contact est plane. Prenons deux points A et B situés

respectivement dans le milieu d'indice n (le point A) et dans le milieu d'indice m (le point B).

Considérons le chemin de la lumière allant de A à B. Le principe de Fermat nous enseigne que le

chemin emprunté par la lumière est tel que le temps mis pour le parcourir est minimum. Nous

nous proposons dans un premier temps d'appliquer une méthode classique pour calculer le

chemin du rayon lumineux et dans un second temps, nous montrerons que le principe de

Fermat peut être énoncé comme un principe variationnel.

Choisissons un repère qui simplifie le problème: faisons passer l'axe des abscisses par le plan

de contact des deux milieux et l'axe des ordonnées par le point B. Dans un tel repère, les

points A et B ont les coordonnées suivantes: .

Appelons , le point où le rayon lumineux traverse la surface de contact entre les deux

milieux. Le temps T mis pas la lumière pour aller de A à B est alors:

(39.35)

où :

et (39.36)

sont les vitesses de phase de la lumière dans les milieux et .

Nous pouvons observer sur la figure ci-dessus que les rayons incidents sont réfractés de l'autre

côté de l'axe perpendiculaire à l'interface. Ceci est une caractéristique type des matériaux ayant

un indice de réfraction positif. Mais il est possible physiquement de construire depuis les

années 1990 des "métamatérieux" composites artificiels à indice de réfraction négatif.

L'écriture des deux relations précédentes :

et (39.37)

se justifie par le fait que nous pouvons nous se permettre de faire l'hypothèse que la vitesse de

phase de la lumière ne croît pas en traversant un corps dense mais se voit diviser par un facteur

donné dépendant du milieu qu'elle traverse. Pour s'en convaincre, il suffit d'imaginer un cas

absurde où la lumière traverserait sans perte de vitesse un corps de densité infinie!

En développant les valeurs de AM et MB nous obtenons la dépendance suivante de T en fonction

de la position xde M :

(39.38)

Selon le principe de Fermat, le chemin emprunté par la lumière est celui pour lequel T est

minimum. L'extremum de T(x) est atteint lorsque sa dérivée par rapport à x est nulle.

(39.39)

Notons que:

et (39.40)

où r est "l'angle de réfraction" (à ne pas confondre avec "l'angle de réflexion"!) et i "l'angle

d'incidence" de la lumière allant de A à B.

La condition d'un temps extremum mis par la lumière s'exprime alors:

(39.41)

D'où nous tirons la relation, connue sous le nom de "loi de Snell-Descartes" (qui n'est plus une

loi puisque démontrée):

(39.42)

Il suffit que les angles d'incidence et de réfraction remplissent cette condition pour que le

chemin parcouru par la lumière soit effectivement celui qui prend le moins de temps.

Nous notons plus fréquemment cette loi en physique de la manière suivante :

(39.43)

où est "l'indice de réfraction relatif" du milieu 2 par rapport au milieu 1 qui ont

respectivement leur propre "indice de réfraction absolu" .

Remarques:

R1. Nous verrons lors de notre étude de l'optique ondulatoire que nous pouvons retrouver

(démontrer) cette même relation mais sans les hypothèses de bases de l'optique géométrique. Dès

lors, cette dernière relation est appelée "relation de Descartes-Snellius" ou plus simplement "loi

de Snell".

R2. Quand nous parlons de l'indice de réfraction d'un milieu m sans faire référence à un autre

milieu, le milieu implicite est le vide.

R3. Certains matériaux n'ont pas un indice de réfraction isotrope : il dépend alors de la direction

de propagation et l'état de polarisation de la lumière. Cette propriété porte le nom de

"biréfringence".

Etudions maintenant la relation entre l'indice de réfraction relatif et la vitesse de phase la

lumière dans les différents milieux qu'elle traverse:

Un rayon lumineux relie deux point et situés de part et d'autre de S. Ce rayon n'est pas

représenté dans la figure. Ne sont tracés que trajets situés de part et d'autre du rayon qui

réalise l'extremum (nous nous basons sur l'étude du trajet maximum maintenant). Par

hypothèse, ils sont extrêmement proches, si bien que la distance est très faible:

(39.44)

Nous admettons qu'ils correspondent au même temps de parcours.

(39.45)

Puisque les deux trajets sont très proches, nous pouvons admettre l'égalité des

distances et d'une part, et de l'autre. Ainsi, par hypothèse:

(39.46)

Mais, sous la même hypothèse:

(39.47)

si bien que:

(39.48)

La "loi de la réfraction" s'énonce finalement en général:

(39.49)

Quant à "l'angle de réflexion", ce dernier est égal à l'angle d'incidence si la surface de réflexion

est parfaitement régulière et plate.

Le principe de Fermat présente donc d'évidentes similitudes avec le principe de moindre action

en cela qu'il consiste en un principe du minimum. Bien qu'une description rigoureuse de la

lumière nécessite l'introduction de la physique quantique il est toutefois possible de

l'appréhender par le biais de la mécanique analytique et de lui appliquer, sous certaines

conditions, le principe de moindre action. Nous allons montrer que nous retrouvons ainsi le

principe de Fermat.

Les calculs que nous allons présenter introduisent de nombreuses hypothèses hasardeuses

mais en tout état de cause, ce procédé doit être considéré comme une approximation. A noter

que le principe de Fermat procède lui aussi d'une même approximation que nous pouvons

qualifier de "limite classique".

Imaginons que la lumière est composée de "grains" matériels. Il faut alors admettre que ces

grains obéissent à des propriétés physiques plutôt singulières: leur masse est nulle puisque

selon la description classique, les rayons lumineux ne sont pas déviés par le champ

gravitationnel. Cette absence de masse les rend donc insensibles au champ gravitationnel

terrestre (attention ! nous sommes dans une description "classique").

Ecrivons l'action pour l'un de ces grains de lumière :

(39.50)

Or, en supposant que le seul champ de potentiel V présent est celui qui dérive du champ

gravitationnel et que nous admettons que la lumière comme y étant insensible (nous savons en

relativité général que cela est faux mais nous avons précisé tout à l'heure que nous ferions des

approximations), il s'ensuit que l'action de la lumière peut s'écrire:

(39.51)

Or, aucune force ne s'applique sur la lumière, par conséquent l'énergie cinétique T est une

constante du mouvement. Appliquons le principe variationnel de moindre action:

(39.52)

D'où nous tirons:

(39.53)

Cette équation signifie que le temps mis par la lumière le long de sa trajectoire est minimum

(ou plus généralement, est un extremum). Nous retrouvons le principe de Fermat. Nous avons

donc montré, qu'à la limite classique et sous certaines hypothèses, le principe de Fermat

découle directement du principe de moindre action.

EFFET TCHERENKOV (CERENKOV)

Nous avons vu dans les paragraphes précédents l'hypothèse (relativement intuitive) que la

vitesse de phase de propagation de la lumière dans un milieu d'indice de réfraction n n'était pas

égal à c mais toujours inférieur en écrivant cela :

(39.54)

L'effet Tcherenkov est (basiquement) un phénomène similaire à une onde de choc (en

acoustique), produisant un flash de lumière, et qui a lieu sur le trajet d'une particule chargée se

déplaçant dans un milieu avec une vitesse de phase supérieure à la vitesse de la lumière du

milieu (l'explication rigoureuse sort du cadre d'étude de ce site de par sa complexité de

traitement!).

Effectivement, rappelons d'abord que nous avons vu dans le chapitre d'Électrodynamique que

toute particule chargée en mouvement émettait une radiation électromagnétique. Ensuite, nous

avons vu dans les paragraphes précédents que la vitesse de la lumière dans un milieu donnée

dépendait de l'indice de réfraction de ce milieu (hypothèse qui se vérifie par la justesse

expérimentale des développements théoriques qui en découlent).

Remarques:

R1. C'est cet effet qui provoque la luminosité bleue de l'eau entourant le coeur d'un réacteur

nucléaire.

R2. Parfois certains se demandent pourquoi les particules chargées peuvent aller plus vite que la

lumière dans un milieu autre que le vide. C'est simple au fait : même si les deux particules

rencontrent à peu près les mêmes obstacles et difficultés à se propager le photon ne peut être

accéléré par une impulsion alors qu'une particule chargée peut se voir être accélérée par un

phénomène donné dans un milieu donné.

Nous avons donc deux données de bases. La vitesse de la particule chargée qui peut s'écrire

sous la forme suivante avec les notations relativistes :

(39.55)

et la vitesse de de phase de la lumière dans un milieu avec un indice de réfraction donné :

(39.56)

Il est facile de voir que pour obtenir il faut avoir :

(39.57)

Soit :

(39.58)

Certains auteurs préfèrent comparer la distance parcourue par la lumière par rapport à celle

parcourue par la particule. Il vient ainsi :

(39.59)

Et donc pour que la particule parcoure des distances égales à celles de la lumière dans le

même temps il faut que . Au-delà, apparaît l'effet Tcherenkov.

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