Notes sur la loi faible des grands nombres, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la loi faible des grands nombres, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur la loi faible des grands nombres. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation, la définition de la variance, l'exemple.
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Loi faible des grands nombres.

Nous allons maintenant nous attarder sur une relation très intéressante en statistique qui permet

de dire pas mal de choses tout en ayant peu de données et ce quelque soit la loi considérée (ce qui

est pas mal quand même!). C'est une propriété très utilisée en simulation statistique par exemple

dans le cadre de l'utilisation de Monte-Carlo.

Soit une variable aléatoire à valeurs dans . Alors nous allons démontrer la relation suivante

appelée "inégalité de Markov" :

(7.118)

avec dans le contexte particulier des probabilités.

En d'autres termes, nous proposons de démontrer que la probabilité qu'une variable aléatoire soit

plus grande ou égale qu'une valeur est inférieure ou égale à son espérance divisée par la valeur

considérée et ce quelle que soit la loi de distribution de la variable aléatoire X!

Démonstration:

Notons les valeurs de X par , où (c'est-à-dire triées par ordre

croissant) et posons . Nous remarquons d'abord que l'inégalité est triviale au cas

ou . Effectivement, comme X ne peut être compris qu'entre 0 et par définition alors

la probabilité qu'il soit supérieure à est nul. En d'autres termes :

(7.119)

et X étant positif, E(X) l'est aussi, d'où l'inégalité pour ce cas particulier dans un premier temps.

Sinon, nous avons et il existe alors un tel que . Donc :

(7.120)

C.Q.F.D.

Exemple :

Nous supposons que le nombre de pièces sortant d'une usine donnée en l'espace d'une semaine

est une variable aléatoire d'espérance 50. Si nous souhaitons estimer la probabilité cumulée que

la production dépasse 75 pièces nous appliquerons simplement :

(7.121)

Considérons maintenant une sorte de généralisation de cette inégalité appelée "inégalité de

Bienaymé-Tchebychev" (abrégée "inégalité BT") qui va nous permettre d'obtenir un résultat très

intéressant un peu plus bas.

Considérons une variable aléatoire X. Alors nous allons démontrer l'inégalité de Bienaymé-

Tchebychev suivante:

(7.122)

qui exprime le fait que plus l'écart-type est petit, plus la probabilité que la variable

aléatoire X s'éloigne de sont espérance est faible.

Nous obtenons cette inégalité en écrivant d'abord :

(7.123)

et le choix du carré va nous servir pour une simplification future.

Puis en appliquant l'inégalité de Markov (comme quoi c'est quand même utile...) à la variable

aléatoire avec il vient automatiquement :

(7.124)

Ensuite, en utilisant la définition de la variance:

(7.125)

Nous obtenons bien:

(7.126)

Si nous posons:

(7.127)

l'inégalité s'écrit:

(7.128)

et exprime que la probabilité que pour que X s'éloigne de son espérance de plus que t fois son

écart-type, est inférieure à . Il y a, en particulier, moins de 1 chance sur 9 pour

que X s'éloigne de son espérance de plus de trois fois l'écart-type.

Exemple :

Nous reprenons l'exemple où le nombre de pièces sortant d'une usine donnée en l'espace d'une

semaine est une variable aléatoire d'espérance 50. Nous supposons en plus que la variance de la

production hebdomadaire est de 25. Nous cherchons à calculer la probabilité que la production de

la semaine prochaine soit comprise entre 40 et 60 pièces.

Pour calculer ceci il faut d'abord se souvenir que l'inégalité de BT est basée en parties sur le

terme donc nous avons :

(7.129)

donc l'inégalité de BT nous permet bien de travailler sur des intervalles égaux en valeur absolue ce

qui s'écrit aussi :

(7.130)

Ensuite, ne reste plus qu'à appliquer simplement l'inégalité numériquement :

(7.131)

Ces deux dernières inégalités vont nous permettre d'obtenir une relation très importante et

puissante que nous appelons la "loi faible des grands nombres" (L.F.G.N.) ou encore "théorème de

Khintchine".

Considérons une variable aléatoire X admettant une variance et une suite de variables

aléatoires indépendantes (donc non corrélées deux-deux) de même loi que X et ayant toutes les

mêmes espérances et les mêmes écarts-types .

Ce que nous allons montrer est que si nous mesurons une même quantité aléatoire de même

loi au cours d'une suite d'expériences indépendantes (alors dans ce cas, nous disons

techniquement que la suite de variables aléatoires sont définies sur le même espace

probabilisé), alors la moyenne arithmétique des valeurs observées va se stabiliser sur l'espérance

de X quand le nombre de mesures est infiniment élevée.

De manière formelle ceci s'exprime sous la forme :

(7.132)

lorsque .

Donc en d'autres termes la probabilité cumulée que la différence entre la moyenne arithmétique et

l'espérance des variables aléatoires observées soit compris dans un intervalle autour de la

moyenne tend vers zéro quand le nombre de variables aléatoires mesurées tend vers l'infini (ce qui

est finalement intuitif).

Ce résultat nous permet d'estimer l'espérance mathématique en utilisant la moyenne empirique

(arithmétique) calculée sur un très grand nombre d'expériences.

Démonstration:

Nous utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variable aléatoire (cette relation

s'interprète difficilement mais permet d'avoir le résultat escompté) :

(7.133)

Et nous calculons d'abord en utilisant les propriétés mathématiques de l'espérance que nous

avions démontrées plus haut:

(7.134)

et dans un deuxième temps en utilisant les propriétés mathématiques de la variance aussi déjà

démontrées plus haut :

(7.135)

et puisque nous avons supposé les variables non corrélées entre elles alors la covariance est nulle

dès lors :

(7.136)

Donc en injectant cela dans l'inégalité BT :

(7.137)

nous avons alors :

(7.138)

qui devient :

(7.139)

et l'inégalité tend bien vers zéro quand n au numérateur tend vers l'infini.

C.Q.F.D.

Signalons que cette dernière relation est souvent notée dans certains ouvrages et conformément à

ce que nous avons vu au début de ce chapitre:

(7.140)

ou encore:

(7.141)

Donc, pour :

(7.142)

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