Notes sur la maintenance préventive - 2° partie, Notes de Génie de la production
Christophe
Christophe13 January 2014

Notes sur la maintenance préventive - 2° partie, Notes de Génie de la production

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Notes de ingénierie sur la maintenance préventive - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Un autre exemple, le modèle de Weibull, topologie des systèmes.
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Un autre exemple: En mécanique, où le phénomène d'usure est à l'origine de la défaillance, le

taux de défaillance est souvent du type linéaire (il augement donc de manière constant avec le

temps et est non nul lors du premier allumage de l'appareil):

(170)

Alors:

(171)

Soit:

(172)

Comme:

(173)

cette intégrale ne peut se calculer ques par une méthode numérique. Dès lors on préfère

prendre des lois rapprochées à l'aide d'ajustement du Khi-Deux comme par exemple la loi de

Weibull qui est un peu la poubelle à tout mettre dans le domaine..

Il faus savoir que dans les banques de données de fiabilité communes et gratuitement

disponibles sur le marché sont normalement donnés: la dénomination du matériel ou du

composant, la MTBF, la taux de défaillance moyen, le patrimoine statistique, un coefficient

multiplicatif du taux de défaillances dépendant de l'environnement ou des contraintes

d'utilisation.

MODÈLE DE WEIBULL Encore une fois, les techniques de maintenances utilisent les probabilités et statistiques donc

nous renvoyons le lecteur au chapitre du même nom. Cependant, il existe dans le domaine de

la maintenance (et pas seulement) une fonction de densité de probabilité très utilisée appelée

"loi de Weibull".

Elle est complètement empirique et est définie par :

(174)

où avec qui sont respectivement appelés "paramètre

d'échelle" , "paramètre de forme" et "paramètre d'emplacement" .

La loi de Weibull est aussi souvent notée sous la forme suivante en posant ,

, :

(175)

Elle peut être calculée dans MS Excel. sous cette dernière forme en utilisant la fonction

LOI.WEIBULL( ).

Remarque: Elle peut être vue comme une généralisation de la fonction de distribution

exponentielle avec l'avantage qu'il est possible de jouer avec les trois paramètres de manière à

obtenir presque n'importe quoi.

(176)

En annulant , nous obtenons la "distribution de Weibull à deux paramètres" :

(177)

qui a une application pratique importante et dont nous avons calculé les estimateurs des

paramètres dans le chapitre de Statistiques.

Exemple:

Dans le diagramme ci-dessous, nous avons pour étant égal à zéro: en

rouge, en vert, en noir, en bleu , en

magenta :

(178)

et le tracé de la fonction de distribution et respectivement de répartition de la loi de Weibull de

paramètre avec nul:

(179)

En posant encore une fois et en assumant que nous avons la "distribution de

Weibull à un paramètre" :

(180)

où le seul paramètre inconnu est le paramètre d'échelle . Nous assumons que le

paramètre est connu à priori de expériences passées sur des échantillons identiques.

Nous retrouvons également parfois cette relation dans la littérature sous la forme:

(181)

Le MTBF est alors donnée par l'espérance de la loi de Weibull avec non nul:

(182)

Posons :

(183)

avec :

(184)

Ce qui donne :

(185)

La première intégrale nous est déjà connue, nous l'avons déjà vue dans le chapitre de Calcul

Différentiel. Il s'agit simplement de la fonction gamma d'Euler :

(186)

Nous avons finalement :

(187)

En annulant il vient le cas courant en fiabilité:

(188)

Remarque: Si par le plus grand des hasards , alors comme nous l'avons démontré lors

de notre étude de la fonction Gamma d'Euler :

(189)

Dans le cas où il faut faire appel aux tables numériques obtenues par les algorithmes

vus dans le chapitre de Méthodes Numériques.

De même :

(190)

Finalement :

(191)

Remarque: Certains spécialistes, lorsqu'il est fait usage des deux moments d'ordre deux dans

l'analyse probabiliste de la défaillance, parlent parfois "d'approche en moyenne quadratique"...

TOPOLOGIE DES SYSTÈMES

Lorsque nous travaillons avec des systèmes réels non réparables (mécaniques, électroniques ou

autres), nous sommes confrontés à des contraintes différentes suivant le type de montage que

nous avons. L'étude de ce type de systèmes est aussi appelé "Reliability Block Diagramm".

Les deux hypothèses principales de l'étude de ces systèmes sont:

H1. La panne d'un composant est indépendante des autres

H2. Pas de pannes arrivant conjointement

Nous reconnaissons 5 topologies principales dont chaque composant est représenté par un

bloc:

T1. Topologie série:

Si un seul composant est défectueux le système ne fonctionne plus (les exemples sont

tellement nombreux et simples à trouver que nous n'en citerons pas).

Alors dans l'hypothèse où la panne d'un composant est indépendante des autres, la probabilité

cumulée de défaillance est égale au produit des probabilités cumulées (cf. chapitre de

Probabilités).

(192)

Comme souvent il est fait usage de la loi exponentielle, la multiplication de plusieurs termes de

probabilités cumulées étant relativement longue à écrire, nous lui préférons l'utilisation de la

probabilité de fiabilité cumulée R.

Ainsi, la fiabilité (probabilité de fonctionnement) d'un système série est donnée par:

(193)

Ce qui nous amène bien à une valeur nulle pour la fiabilité si au minimum un bloc a une fiabilité

nulle.

Ce qui se note traditionnellement dans le domaine:

(194)

Remarque: Le lecteur attentif aura remarque que le système série est toujours moins fiable que sa

composant la moins fiable!

Attention!! Dans le cas des composantes électroniques, le taux de défaillance est souvent

considéré comme constant par souci de simplification et la fonction de densité est alors celui

de la loi exponentielle:

(195)

Or, nous avons démontré que dans le cas d'un système non réparable:

(196)

Et comme nous avons démontré dans le chapitre de Statistique que l'espérance de la loi

exponentielle est:

(197)

Nous avons aussi démontré plus haut que:

(198)

Donc:

(199)

Alors pour un système série à taux de défaillance constant:

(200)

Ainsi, dans ce cas particulier:

(201)

et... le problème sur Internet c'est que les pages web qui parlent de système à topologie série

(ou parallèle) font implicitement usage d'une loi exponentielle d'où parfois de grosse erreurs de

la part des praticiens qui utilisent cette dernière relation sans avoir étudié les détails

mathématiques sous-jacents.

T2. Topologie parallèle:

Contrairement au système précédent, le système continue à fonctionner si au moins un

composant fonctionne (typiquement les systèmes de redondance dans les avions, les fusées ou

les centrales nucléaires).

(202)

En d'autres termes, il s'arrête de fonctionner si et seulement si:

(203)

Donc il vient immédiatement que:

(204)

Nous avons donc pour le système parallèle dont les composantes sont à taux de défaillance

constant et tous identiques (pour simplifier l'étude):

(205)

Nous avons alors:

(206)

En posant:

(207)

et en remplaçant dans l'expression antéprécédente nous avons:

(208)

Il n'est pas possible d'intégrer cette dernière relation de manière formelle mais si on compare

pour différentes valeurs de n fixées alors nous voyons très vite que:

(209)

T3. Topologie k/n:

Ce système fonctionne si k parmi n composants de même loi de fiabilité R fonctionnent. C'est

typiquement le cas des disques RAID en informatique pour lesquels il en faut plus d'un qui

fonctionne toujours à la fin et ce nombre est déterminé par le volume de données.

Nous avons alors la représentation schématique suivante:

(210)

Donc chercher la loi de probabilité cumulée de fiabilité revient à se poser la question de la

probabilité cumulée d'avoir k éléments qui fonctionnent parmi n qui sont non distinguables.

Cela revient donc à utiliser la loi binomiale (cf. chapitre de Statistiques) pour laquelle nous

avons démontré que la probabilité cumulée était donnée alors par:

(211)

T4. Topologie série/parallèle et parallèle/série à configuration symétrique:

Ce sont simplement des compositions simples de des deux premiers systèmes étudiées

précédemment.

Nous avons d'abord le système série/parallèle:

Or, comme les systèmes séries sont donnés par:

(212)

et les parallèles par:

(213)

la composition des deux donne trivialement dans notre cas ci-dessus:

(214)

Et nous avons dans la famille aussi le système parallèle/série:

(215)

où en utilisant exactement la même démarche que précédemment nous avons:

(216)

T5. Topologie complexe:

Au fait, il ne s'agit pas vraiment de systèmes complexes mais ils nécessitent simplement une

petite maîtrise des axiomes de probabilités. L'exemple particulier qui va nous intéresser est le

suivant (typiquement filtre RLC en cascade):

(217)

dénommé "réseau avec bridge".

Et nous devinons que ce qui rend le système complexe est le composant 5. Nous pouvons alors

considérer une première approche qui est de décomposer le problème.

Le système par rapport au composant 5 sera soit dans l'état:

(218)

s'il est défectueux avec une loi de densité probabilité:

(219)

et ayant lui-même une fiabilité de:

(220)

selon nos résultats précédents du système complexe série/parallèle.

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