Notes sur la maintenance préventive - 3° partie, Notes de Génie de la production
Christophe
Christophe13 January 2014

Notes sur la maintenance préventive - 3° partie, Notes de Génie de la production

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Notes de ingénierie sur la maintenance préventive - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la méthode ABC, tableau, exemples.
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Soit dans l'état suivant s'il est fonctionnel avec une loi de densité probabilité :

(221)

et ayant lui-même une fiabilité de:

(222)

selon nos résultats précédents du système complexe parallèle/série.

Comme le système ne peut pas être dans les deux états en même temps, nous avons affaire à

une probabilité disjointe (cf. chapitre de Probabilités) soit la somme des densités auxquelles

nous devons associer les autres composants. Dès lors nous avons:

(223)

Nous pouvons alors à l'aide de l'ensemble des 5 topologies précédentes faire une évaluation de

la fiabilité d'un système quelconque!

Une autre stratégie pour les systèmes complexes consiste de les décomposer en système séries

ou parallèles simples. Si cela n'est pas possible, nous pouvons calculer la fiabilité de chaque

configuration du système qui est considérée comme fonctionnant et faire ensuite la somme des

probabilités de fonctionnement de chaque configuration.

Faisons un exemple en considérant le cas particulier suivant:

(224)

Et considérons la table de vérité suivante avec les configurations possibles:

Etat n° Bloc 1 Bloc 2 Bloc 3 Sortie

1 0 0 0 0

2 1 0 0 0

3 0 1 0 0

4 1 0 1 1

5 0 1 1 1

6 1 1 1 1

7 1 1 0 0

8 0 0 1 0

Tableau: 9 - Table de vérité d'un système de maintenance préventive

Le principe (il faut le savoir...) consiste à dire qu'un état UP (valant donc: 1) est affecté à la

valeur du bloc iconcerné et que l'état DOWN (valant donc: 0) est affecté à la valeur du

bloc i. Chaque valeur sera multipliée avec les autres pour obtenir la fiabilité totale du système à

un état donné.

Ainsi, dans l'exemple précédent, nous avons donc que 3 états qui permettent au système de

fonctionner. Calculons leur fiabilité respective. Les états n°4 et n°5 donnent donc par définition:

(225)

L'état n°6 donne lui par définition:

(226)

et nous sommons le tout comme indiqué ultérieurement:

(227)

Et nous pouvons vérifier que cette approche est effectivement correcte en prenant la relation

générale d'un tel système démontrée plus haut:

(228)

ce qui montre que nous avons bien le même résultat et que l'approche par décomposition

fonctionne aussi.

Enfin, signalons pour terminer que lorsque nous incluons dans les systèmes des éléments qui

permettent de tolérer ou d'accepter certaines erreurs nous parlons alors de "tolérance aux

fautes" et nous en distinguons principalement de trois types:

- Redondance active: Dans ce cas tous les composants redondants fonctionnent en même

temps.

- Redondance passive: Un seul élément redondant fonctionne, les autres sont en attente, ce qui

a pour avantage de diminuer ou de supprimer le vieillissement des éléments redondants mais

en contrepartie nécessite l'insertion d'un composant de détection de panne et de commutation.

- Redondance majoritaire: Cette redondance concerne surtout des signaux. Le signal de sorite

sera celui de la majorité des composants redondants.

MÉTHODE ABC

Dans une entreprise, les tâches sont nombreuses et les équipes d'entretien et de maintenant

sont systématiquement réduites à leur minimum dans les temps qui courent.

De plus, les technologies les plus évoluées en matière de maintenance coûtent cher ou peuvent

coûter très cher, et ne doivent pas être appliquées sans discernement.

Il convient par conséquent de s'organiser de façon efficace et rationnelle. L'analyse ABC,

utilisant implicitement la loi de probabilité cumulée de Pareto (cf. chapitre de Statistiques),

permet d'y remédier relativement bien. Ainsi, un classement des coûts par rapport aux types de

panne donne des priorités sur les interventions à mener (cette méthode empirique est aussi

utilisée dans de nombreux autres domaines dont un qui est très connu: la gestion de stocks).

L'idée consiste dans un premier temps comme pour l'analyse de Pareto (cf. chapitre de

Techniques de Gestion) de classer les pannes par ordre croissant de coût de maintenance (ou

de coût d'impact en cas de panne) chaque panne se rapportant un système simple ou complexe

et à établir un graphique faisant correspondre les pourcentages de coûts cumulées aux

pourcentages de type de panne cumulés.

Ensuite, nous distinguons par tradition trois zones:

- Zone A: Dans la majorité des cas, environ 20% des pannes représentent 80% des coûts et il

s'agit donc de la zone prioritaire.

- Zone B: Dans cette tranche, les 30% de pannes suivantes coûtent 15% supplémentaires.

- Zone C: 50% des pannes restante ne revient qu'à 5% des coûts.

Voyons un exemple en considérant que les données suivantes ont été recueillies et que nous

aimerions faire une analyse du % de machines sur lesquelles il faudrait que nous nous

concentrions pour diminuer le coût d'heures de pannes d'environ 80% (dans la réalité on

s'intéressera plus au % du coût financier!).

N° de Machine Heures d'arrêt Nb. de pannes

Machine n°1 100 4

Machine n°2 32 15

Machine n°3 50 4

Machine n°4 19 14

Machine n°5 4 3

Machine n°6 30 8

Machine n°7 40 12

Machine n°8 80 2

Machine n°9 55 3

Machine n°10 150 5

Machine n°11 160 4

Machine n°12 5 3

Machine n°13 10 8

Machine n°14 20 8

Tableau: 10 - Analyse ABC sur pannes machines

Ensuite, dans MS Excel ou ailleurs nous pouvons aisément établir le tableau suivant:

Machine Arrêt [h.] Cumul [h.] %Cumulé Pannes Cumul %Cumulé

pannes

11 160 160 21.19% 4 4 4.30%

10 150 310 41.06% 5 9 9.68%

1 100 410 54.30% 4 13 13.98%

8 80 490 64.90% 2 15 16.13%

9 55 545 72.19% 3 18 19.35%

3 50 595 78.81% 4 22 23.66%

7 40 635 84.11% 12 34 36.56%

2 32 667 88.34% 15 49 52.69%

6 30 697 92.32% 8 57 61.29%

14 20 717 94.97% 8 65 69.89%

4 19 736 97.48% 14 79 84.95%

13 10 746 98.81% 8 87 93.55%

12 5 751 99.47% 3 90 96.77%

5 4 755 100.00% 3 93 100.00%

Tableau: 11 - Normalisation des données pour analyse ABC

Nous avons alors graphiquement:

(229)

où les zones A, B et C sont arrondis à des points existants. Ainsi, la zone critique A compte les

machines 11, 10, 1, 8, 9 et 3. Une amélioration de la fiabilité de ces machines peut donc

procurer jusqu'à 78.8% de gain de temps sur les pannes.

Maintenant déterminons les paramètres de la loi de répartition de Pareto:

(230)

Nous devons déterminer et k les autres paramètres nous sont donnés par nos mesures (le

tableau).

Nous pouvons jouer de la manière suivante:

(231)

d'où:

(232)

Donc à l'aide de:

(233)

on doit pouvoir déterminer les deux paramètres recherchés en considérant l'expression comme

l'équation d'une droite dont k est la pente et l'ordonnée à l'origine:

(234)

Une régression linéaire simple (cf. chapitre de Méthodes Numériques) nous donne:

et (235)

donc:

(236)

Nous avons donc au final:

(237)

Ce qui donne alors le tableau suivant (les xi de la loi de Pareto sont les %Cumulé de panne):

Machine %Cumulé coûts [h.] %Cumulé panne

%Cumulé loi Pareto

11 21.19% 4.30% 61.76%

10 41.06% 9.68% 78.01%

1 54.30% 13.98% 82.89%

8 64.90% 16.13% 84.48%

9 72.19% 19.35% 86.29%

3 78.81% 23.66% 88.05%

7 84.11% 36.56% 91.12%

2 88.34% 52.69% 93.08%

6 92.32% 61.29% 93.75%

14 94.97% 69.89% 94.29%

4 97.48% 84.95% 95%

13 98.81% 93.55% 95.32%

12 99.47% 96.77% 95.43%

5 100.00% 100.00% 95.53%

Tableau: 12 - Comparaisons données expérimentales/théoriques

Nous pouvons alors obtenir la vraie courbe de Pareto correspondante facilement dans MS Excel:

(238)

La différence entre l'expérimentale est la théorique est non négligeable... Comme k est inférieur

à 1, alors comme nous l'avons vu démontré dans le chapitre de Statistiques, la loi de Pareto n'a

ni espérance, ni variance.

Il faut faire attention au fait que dans le domaine de la gestion la loi de Pareto est utilisée un

peut à torts et à travers alors que une autre loi de probabilité pourrait être beaucoup plus

adaptée

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