Notes sur la mécanique classique ou rationnelle - 2° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa14 January 2014

Notes sur la mécanique classique ou rationnelle - 2° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur la mécanique classique ou rationnelle - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le centre de masse et masse réduite, le théorème du centre de masse, le théorème de guldin.
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CENTRE DE MASSE ET MASSE RÉDUITE

Il s'agit du cas particulier du barycentre avec toutes ses propriétés que nous avons déjà

largement développé dans le chapitre de Géométrie Euclidienne (donc nous vous conseillons

fortement de vous y référer) mais rapporté à la physique :

Soit un solide formé de n points de masse et repérés par leurs vecteurs de

position respectifs.

Définition: Nous appelons "centre de masse" (ou "centre d'inertie" s'il y a égalité stricte entre

masse grave et masse inerte comme nous en avons fait mention dans le chapitre traitant des

Principes de la mécanique) un pointG auquel nous pouvons rattacher tout la masse du système

(et donc son analyse!!) et tel que, l'origine étant arbitrairement choisie il soit donné par (nous

démontrerons cette relation lors de l'étude de la statique des forces) :

(30.14)

De façon identique, nous définissons la masse réduite du système par la relation :

(30.15)

Si nous considérons le solide comme continu (vrai seulement à l'échelle macroscopique en

première approximation) alors il vient :

(30.16)

Intégrales étendues au volume du solide en entier.

De plus, si le solide est homogène (cas particulier), de masse volumique , alors

, dV étant l'élément de volume. L'équation peur alors s'écrire (la notation de la triple intégrale

est réduite à une seule par souci de condensation d'écriture):

(30.17)

Soit en composantes :

(30.18)

Propriétés :

P1. Si le solide possède un axe de symétrie, alors G est sur cet axe

P2. Si le solide possède un plan de symétrie, alors G est sur ce plan

P3. Si le solide possède plusieurs axes de symétrie, alors G est à leur intersection

Remarques:

R1. Le centre de masse G peut se trouver hors du solide (exemple: un tabouret, un boomerang,

etc.)

R2. Il ne faut pas confondre "centre masse" et "centre de gravité" (dit également "barycentre" -

voir le chapitre traitant de la Géométrie Euclidienne) qui se confondent si et seulement si la

masse du corps étudié est homogène.

Il n'est pas évident de calculer le centre de masse d'un corps donné relativement simple. Ce

n'est pas que les outils mathématiques à manipuler soient complexes loin de là (simple

intégrale, Pythagore et quelques multiplications et intégrations par parties) mais il faut aborder

le problème d'une façon élégante et si nous n'avons pas tout de suite la bonne approche nous

nous casserons très vide les dents. Nous conseillons donc aux professeurs qui abordent ce

sujet et les exercices y relatifs, de les faire avec les élèves (donc en classe) mais en laissant ces

derniers débattre de la façon dont le professeur doit attaquer le problème au tableau noir (cela

marche très bien).

THÉORÈME DU CENTRE DE MASSE

Sous l'action des forces extérieures , agissant en chaque point du solide, chacun

de ces points prend l'accélération correspondant à la force appliquée . En utilisant la loi de

Newton (voir la définition de cette loi plus loin) pour chaque point et en sommant les effets

nous aurons (dans un cas non relativiste) :

(30.19)

en vertu de la position du centre de masse donnée par la relation :

(30.20)

il vient si le référentiel est posé sur le centre de masse :

où (30.21)

soit:

(30.22)

C'est le théorème du centre de masse, que nous pouvons énoncer ainsi:

Le centre de masse d'un solide se meut comme un point matériel de masse égale à celle du

solide et auquel serait appliqué la somme des forces extérieures. Un exemple simple est celui

d'un projectile explosif décrivant en absence de pesanteur une trajectoire courbe. Si le

projectile explose et se fragmente, le centre de masse des éclats continue à décrire la

trajectoire courbe qu'il avait entamée.

Remarque: Dans le cas particulier du solide (ensemble de points) soumis au champ de la

pesanteur, est le poids du solide et G s'appelle alors "centre de gravité" (d'où l'origine de

cette appellation).

Reprenons l'équation :

(30.23)

donnant la position du centre de masse. Sa vitesse vaut:

(30.24)

en posant :

(30.25)

où est la quantité de mouvement du système, il vient:

(30.26)

Cette relation montre que si la somme des forces extérieures est nulle alors:

(30.27)

Donc la quantité de mouvement du système entier est conservée et le mouvement du centre de

masse du système est inaltéré. Ceci justifie les remarques faites lors de l'étude de la

conservation de la quantité de mouvement.

Dans l'étude des interactions entre particules, il est souvent commode d'utiliser un système de

référence lié au centre de masse de l'ensemble des particules. Ce centre de masse étant au

repos dans ce référentiel sa vitesse y est nul ainsi que la quantité de mouvement totale, comme

le montrent les équations ci-dessus. Cette propriété constitue le puissant avantage de cette

description.

Remarque: En mécanique, l'usage du centre de masse (point matériel) est particulièrement aisé

car le système de forces est régi seulement par la loi de Newton. Avec des particules électrisées

(charges), il en va tout autrement. Les effets électromagnétiques sont dominants lors de leurs

accélérations, ce qui induit des phénomènes ondulatoires interactifs nettement plus complexes.

C'est la raison pour laquelle nous ne verrons jamais une étude sur ce site du "centre de charge"

lorsque nous aborderons l'électrostatique dans le chapitre d'Électrodynamique...

THÉORÈME DE GULDIN

Le théorème de Guldin permet dans certains cas, de simplifier le calcul du centre de masse de

certains corps.

Premier théorème : Soit une plaque plane, homogène, d'épaisseur constante e, de masse

volumique placé dans un plan cartésien xOy. Nous avons alors par rapport à l'axe y:

(30.28)

(30.29)

Envisageons une rotation autour de l'axe x. Le volume décrit par un élément de surface dS lors

de cette rotation vaut :

(30.30)

et, par conséquent, le volume total décrit par la surface S complète est :

(30.31)

Ainsi, en procédant de même pour , nous obtenons finalement :

(30.32)

Deuxième théorème :soit une tige courbe, homogène, de longueur l, de section constante, de

masse linéique . Nous avons :

(30.33)

Envisageons une rotation autour de l'axe x. La surface décrite par un élément de

longueur dl lors de cette rotation vaut :

(30.34)

et, par conséquent, la surface totale décrit par la tige de longueur L est :

(30.35)

Ainsi, en procédant de même pour , nous obtenons finalement :

(30.36)

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