Notes sur la mécanique des milieux continus - 1° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa14 January 2014

Notes sur la mécanique des milieux continus - 1° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur la mécanique des milieux continus - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les définitions, les solides, les pressions, l'élasticité des solides.
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MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Au sens strict du terme, la mécanique des milieux continus (abrégée M.M.C.) est la branche de

la mécanique qui se propose d'étudier l'étude des mouvements, des déformations, des champs

de contraintes au sein de milieux continus.

Définition:

D1. Nous désignons par "milieu", tout fluide (solide, liquide, gaz ou plasma selon ce que nous

avons vu en thermodynamique), déformable ou non, quand nous le considérons d'un point de

vue macroscopique, par opposition à une description corpusculaire.

D2. Nous désignons par "milieu continu", un milieu tel que si M et M'appartiennent à un milieu

et si M' appartient au voisinage M, alors quelle que soit la déformation subie par ce

milieu, dM' appartiendra au voisinage de dM.

Cette branche apparaît souvent comme la science de l'ingénieur qui permet de comprendre et

de décrire le monde matériel qui nous entoure et les phénomènes courants qui s'y déroulent:

mouvements de liquides, de gaz, vol des avions, hélicoptères, fusées, satellites, navigation des

bateaux, déformations des corps solides, structure interne des étoiles, etc. Par ses attaches à la

mécanique thermique (thermodynamique), elle s'étend jusqu'à la thermique, l'énergétique,

l'acoustique.

Prenant en compte les comportements des milieux continus, elle englobe l'hydrodynamique, la

dynamique des gaz, l'élasticité, l'acoustique, la plasticité et d'autres comportements. Elle est la

clé de ce que nous appelons aujourd'hui la "modélisation", qui n'est autre que l'art d'analyser un

phénomène physique et de le décrire en termes mathématiques, ce qui permet de l'étudier avec

la rigueur propre à cette discipline.

Cette section du site est séparée en 4 parties principales: solides, liquides, gaz et plasmas (dont

certaines notions ont délibérément été développées dans le chapitre de Musique Mathématique

du site). Dans chaque partie, nous introduirons les outils mathématiques spécifiques à l'étude

de tel ou tel milieu continu avec une complexité (toute relative) croissante. Cependant, par

choix il a été décidé d'exposer les théorèmes avec les outils mathématiques les plus simples

possibles mais tout en arrivant aux mêmes résultats. Ainsi, par exemple, la démonstration de

l'équation de Navier-Stokes qui prendrait 150 pages de développements mathématiques

rigoureux n'en prend plus que 27. Il y a donc un avantage non négligeable aussi bien pour

l'auteur que pour le lecteur à procéder ainsi.

Remarque: Concernant les équations de Navier-Stokes, nous donnerons aussi des exemples

pratiques de celles-ci lors de notre étude de la météorologie.

SOLIDES

Des atomes d'un même élément ou d'éléments différents s'assemblent en des édifices

spécifiques. Cela conditionne la force de leurs interactions électriques, qui définissent la

structure finale de la substance. Dans les conditions normales sur notre planète, la matière

existe à l'état solide, liquide, gaz ou plasma. Si les forces interatomiques sont assez intenses, la

collection de particules conserve sa forme et son volume.

Cette propriété de conserver la forme et le volume, ainsi que des propriétés élastiques

distinguent les solides.

PRESSIONS

Les notions de "compression" et "contrainte" (que nous pouvons englober abusivement dans le

terme de "pression") sont de première importance en mécanique des fluide (solides inclus

donc!). Il convient donc de définir ces différents types de pression avec un minimum de rigueur!

Définitions:

D1. Nous appelons "pression de compression", noté traditionnellement P, le rapport entre la

force F qui s'exerce (s'appuie) sur un élément de surface S à la perpendiculaire. Ainsi, sous

forme scalaire:

(34.1)

Remarque: Si une force agit sur une surface finie, nous parlons alors aussi de "force répartie".

D2. Nous appelons "pression de contrainte" le rapport entre la force F qui tire sur un élément

de surface S non nécessairement à la perpendiculaire et dès lors décomposée en deux vecteurs

respectivement tangent et normal. Ainsi, sous forme vectorielle:

(34.2)

où et sont respectivement la "contrainte normale" et la "contrainte tangentielle" (parfois

indiquée avec uns en indice pour indiquer que c'est par rapport à une surface).

Nous pourrions très bien englober les deux définitions ci-dessus en une seule et travailler avec

les signes des forces. Mais par souci de cohérence avec ce qui est enseigné dans les écoles,

nous garderons ces deux définitions qui s'identifient par définition par le fait que leurs forces

sont opposées par rapport à un élément de surface S.

ÉLASTICITÉ DES SOLIDES

D'une manière ou d'une autre, une contrainte de compression ou de traction peut déformer le

triplet hauteur, largeur, épaisseur d'un corps. S'attaquer directement à l'étude d'un cas qui

déforme ces trois paramètres est un peu long et sera abordée plus bas dans la partie traitant de

la détermination de l'expression du module de Young de cisaillement.

Mais il est utile, ne serait-ce que du point de vue du vocabulaire de donner un exemple à partir

du cas le plus simpliste qui puisse être. Si nous imaginons un corps élastique d'une dimension

(ayant ni hauteur, ni largeur mais juste une longueur) sous l'application de deux forces de

contraintes parfaitement colinéaires mais antagonistes, nous pouvons imager que le corps en

considération s'allonge d'un certain facteur.

Définition: La "déformation normale" sous des forces axiales et antagonistes est donnée par le

rapport entre la variation de longueur du corps sur sa longueur initiale (soit: l'allongement

relatif) tel que:

(34.3)

Cette relation est une forme extrêmement simplifiée de tous les types de déformations qu'il

peut exister et que nous verrons plus loin en détails.

Il y a nécessairement une relation entre les forces de compression et de traction et la variation

de dimension d'un corps. Cette relation est dépendante de la structure atomique du matériau et

devrait rigoureusement faire appel à la physique quantique pour être déterminée (nous nous en

abstiendrons cependant dans cette section du site). Nous observons cependant suivant les

matériaux des caractéristiques diverses qui intéressent au plus haut point les ingénieurs:

(34.4)

Les figures ci-dessus représentent la variation de la contrainte de compression en fonction de

la déformation pour certains matériaux (habituellement nous représentons ces caractéristiques

en inversant les axes).

- Les matériaux ductiles comme l'acier doux (a), cessent d'être linéaires à la limite d'élasticité

notée ci-dessus.

- Sous traction les polymères (b) caoutchouteux s'allongent d'abord en dépliant leurs molécules

(cf. chapitre de Génie Des Matériaux) puis en tirant sur les liaisons chimiques (cf. chapitre de

Chimie Quantique).

- La plupart des matériaux biologiques (c) sont sous contrainte, même lorsqu'ils ne sont pas

déformés. La peau, par exemple, est comme un gant de caoutchouc enveloppant le corps.

- L'élastine (d) est habituellement renforcée de collagène dans les systèmes biologiques tels

que les artères. Un tendon est fait principalement de collagène.

Dans un cas plus général, les ingénieurs ont pour habitude de définir les points représentés ci-

dessous dans leurs mesures d'essais de traction:

(34.5)

La caractéristique ci-dessus comporte une partie linéaire comme c'est le cas d'une certaine

classe de matériaux. Cela signifie que la pente de la caractéristique est une constante, qui

reflète la déformation élastique du matériau sous l'effet de la contrainte croissante. Cette

contrainte élastique par unité de déformation définit le "module de Young" (il n'y a pas de

composante tangentielle dans ce cas d'étude!):

(34.6)

cette relation étant valable aussi bien en contraintes de compression qu'en traction. Nous

reviendrons sur cette relation dans les paragraphes suivants.

Remarques:

R1. La "rhéologie" est une partie de la mécanique qui étudie la plasticité, l'élasticité, la viscosité

et la fluidité caractéristiques des corps déformables. C'est une branche très importante de

l'ingénierie industrielle.

R2. Attention les calculs qui vont suivre sont relativement longs et difficiles et ce même si nous

avons essayé de les simplifier aux maximum. Cependant tous les résultats nous seront infiniment

utiles que ce soit pour déterminer l'équation de Navier-Stokes pour l'étude da la résistance des

matériaux (cf. chapitre de Génie Mécanique)!

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