Notes sur  la mécanique des milieux continus - 2° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa14 January 2014

Notes sur la mécanique des milieux continus - 2° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur la mécanique des milieux continus - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la loi de hooke, l'exemple.
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LOI DE HOOKE

Étant donné les définitions données précédemment, nous obtenons la relation:

(34.7)

qui est par définition la "loi linéaire de Hooke" en contrainte normale uniquement!

(34.8)

Il est assez intuitif de supposer que plus la force de liaison des atomes constituant le matériau

étudié est grande, plus grande est la force à appliquer pour éloigner les atomes, donc pour

étirer le corps. Les solides qui ont des grandes forces de liaisons, ont une haute température de

fusion (cela est approfondi dans le chapitre traitant de la Chimie Quantique).

Si nous notons :

(34.9)

Nous nous retrouvons avec la loi que nous connaissons:

(34.10)

qui est la force de rappel des ressorts (cf. chapitre de Mécanique Classique et Génie

Mécanique).

Mais il existe plusieurs types de contraintes avec leurs modules respectifs. Ainsi voici les

définitions des plus importantes dans la partie linéaire de leur caractéristique avec le schéma

explicatif associé:

(34.11)

D1. Nous définissons le "module de cisaillement" ou "module de rigidité" par le rapport de la

composante normale de la force (pression de compression) à la déformation de cisaillement :

(34.12)

où le numérateur est appelé "contrainte de cisaillement" et où est "l'angle de déformation".

Généralement cet angle étant petit nous avons:

S est la surface de la face supérieure ou inférieure du corps déformé représenté ci-dessous:

D2. Nous définissons le "module d'élasticité de glissement", appelé également "module de

glissement" ou encore"module de Coulomb" par le rapport de la composante tangentielle de la

force (pression de contrainte) à la déformation de cisaillement :

(34.13)

où est le "coefficient de Poisson" dont nous démontrerons l'origine un peu plus bas dans le

présente texte.

Remarquez que bien que le numérateur de la définition précédente soit une force divisée par

une surface, il ne s'agit pas d'une pression car la force est tangentielle ('où le T en indice de F) à

la surface.

C'est parce que toute force peut être décomposée en une forme normale et tangentielle (voir la

définition plus haut de la pression de compression et de la pression de contrainte) que nous

avons les deux définitions distinctes ci-dessus. Dans la grande majorité des cas de

laboratoires, nous nous arrangeons pour avoir une force purement tangentielle (d'où le T en

indice de F) ou purement normale (d'où le N en indice de F) à la surface S.

Dans la pratique il est souvent fait usage que de la deuxième définition et ce à un point tel que

cette dernière est souvent assimilée au "module de rigidité" aussi...

Exemple:

Une chose intéressante (pour la parenthèse...) si nous considérons que les plaques tectoniques

sont en cisaillement entre-elles nous avons alors d'après le module de glissement:

(34.14)

Or pour une plaque tectonique en frottement de longueur sur une hauteur H:

(34.15)

et puisque que l'énergie est une force multipliée par une distance, il vient:

(34.16)

qui est typiquement l'énergie dégagée par le cisaillement de la friction de deux plaques

tectoniques dont les surfaces de contact ont une hauteur moyenne H, une longueur

initiale et qui subissent une déformation de .

Typiquement pour un tremblement de terre du typa Sumatra (2004), nous avions:

(34.17)

Dès lors il vient:

(34.18)

en d'autres termes... mille fois l'énergie de la bombe nucléaire d'Hiroshima.

Soit en notant M la magnitude sur l'échelle de Richter:

(34.19)

alors que les estimations donnent un intervalle de 6.2 à 8.5... donc nous ne sommes pas trop

mauvais dans l'approche théorique.

Voilà pour un exemple non appliqué à l'industrie...

D3. Nous définissons le "module de compressibilité omnidirectionnel", comme le rapport de la

contrainte volumique à la déformation volumique (nous démontrerons plus loin les

développements mathématiques qui amènent au dernier terme de la relation):

(34.20)

Nous pourrions encore définir beaucoup de modules tels que le module de flexion, de flexion

pure, de flexion composée, de torsion… Nous étudierons certains d'entre eux plus loin.

Pour chacune des différentes définitions de modules que nous pouvons envisager, nous

pouvons définir une loi de Hooke qui lui est adapté. Cependant, tout cela peut paraître assez

arbitraire mais au fait il n'en est rien car toutes les définitions de modules que nous avons vues

précédemment sont un cas particulier d'une relation mathématique généralisée qui sera

démontrée sur ce site dans un proche avenir.

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