Notes sur la métrique et la signature - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la métrique et la signature - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la métrique et la signature - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les définitions, le déterminant de gram.
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MÉTRIQUE ET SIGNATURE

Comme nous l'avons vu en calcul vectoriel, le produit scalaire d'un vecteur peut permettre de

définir la notion de norme d'un vecteur (et le concept de distance).

Rappelons que nous avons par définition la norme d'un vecteur qui est donnée par (cf. chapitre

de Calcul Vectoriel) :

(14.59)

où les nombres définissent en quelque sorte une "mesure" des vecteurs; nous disons alors

dans le langage du calcul tensoriel qu'ils constituent la "métrique" de l'espace vectoriel choisi.

Dans l'espace de la géométrie classique, la norme est un nombre qui est toujours strictement

positif et qui ne devient nul que si le vecteur mesuré est égal à zéro. Par contre, l'expression

précédente de la norme d'un vecteur, peut être éventuellement négative pour des

nombres quelconques (espaces complexes par exemple). Nous pouvons donc

distinguer deux genres d'espaces vectoriels pré-euclidiens (espace euclidien dans lequel nous

avons défini le produit scalaire) selon que la norme est positive ou non. Cependant lorsqu'en

physique théorique nous souhaitons faire l'analogisme avec une structure d'espace vectoriel il

faut que la condition :

(14.60)

soit satisfaite ( peut être écrit comme une matrice, rien ne nous l'empêche).

Explications : Nous savons que le produit scalaire doit satisfaire à la propriété de commutativité

telle que:

(14.61)

D'autre part, si pour tout non nul nous avons :

(14.62)

cela implique (c'est une des propriétés de la norme que nous avons vu en calcul

vectoriel). Nous pouvons alors écrire:

(14.63)

Nous nous retrouve ici simplement avec un système de n équations à n inconnues (ne devant

admettre par hypothèse que la solution ), il faut et il suffit pour cela que le déterminant

du système, noté g, du système soit différent de zéro (cf. chapitre d'Algèbre Linaire). Nous

devons donc avoir:

(14.64)

C'est une des conditions pour qu'une expression assimilable à une norme sous une écriture

tensorielle forme dans le cadre d'une théorie physique un espace vectoriel des états du système

!!

Remarques:

R1. Le nombre de signes + et - se trouvant dans l'expression du produit scalaire constitue une

caractéristique d'un espace vectoriel donné ; elle est appelée la "signature de l'espace

vectoriel" .

R2. Une application pratique des calculs de la métrique est proposée dans le chapitre de

Relativité Générale.

A partir des coefficients du tenseur métrique covariant définissant la métrique de

l'espace , nous pouvons introduire les coefficients du "tenseur métrique contravariant"

définissant la métrique d'un "espace dual" par la relation :

(14.65)

En d'autres termes, le tenseur métrique est son propre inverse. Nous le démontrerons

explicitement plus loin en montrant lors de notre étude du déterminant de Gram que les

composantes contravariantes et covariantes d'un espace euclidien sont égales.

Remarque: L'espace est aussi appelée "espace primal".

L'espace dual est sous-tendu par n vecteurs de base construite à partir des vecteurs tel

que :

(14.66)

Il est dès lors facile de voir que le produit scalaire des vecteurs définit la métrique de

l'espace dual :

(14.67)

tandis que les vecteurs (contravariants) et (covariants) sont bien orthogonaux :

(14.68)

Nous pouvons exprimer aussi un vecteur dans la base duale par l'écriture suivante en

remarquant bien évidemment que la position des indices muets est inversée :

(14.69)

Remarque: Les composantes sont nommées, pour des raisons que nous verrons plus loin, les

composantes covariantes.

Ce qui est important c'est que nous avons finalement la possibilité de passer aussi les vecteurs

d'une base à l'autre :

(14.70)

où ce qu'il est important de retirer est que :

(14.71)

et inversement, de la même manière que :

(14.72)

DÉTERMINANT DE GRAM

Voyons une autre approche pour obtenir les vecteurs de base de l'espace dual qui peut

permettre par ailleurs de mieux appréhender le concept et qui nous permettra par ailleurs

d'obtenir un résultat intéressant que nous utiliserons lors de certains calculs de la relativité

générale (principalement son étude selon le formalisme lagrangien) .

Nous avons donc pour :

(14.73)

Ce produit scalaire peut être vu comme une condition de normalisation pour les deux bases et

les deux produits scalaires comme des conditions d'orthogonalisation.

Ainsi, comme est perpendiculaire à nous pouvons écrire :

(14.74)

Où est une constante de proportionnalité. Maintenant jouons un peu avec la relation

précédente :

(14.75)

Dès lors, nous obtenons :

(14.76)

où nous voyons apparaître le produit mixte tel que nous l'avions défini dans le chapitre de

Calcul Vectoriel.

Ainsi, nous obtenons très facilement :

(14.77)

ou de manière plus générale (sans démonstration car peut-être trop évident) nous avons donc

pour les vecteurs covariants :

(14.78)

et de même pour les vecteurs contravariants (sans démonstration car peut-être trop évident) :

(14.79)

Remarque: Un petit calcul rapide de tête montre que les bases duales des systèmes cartésiens

(comme les systèmes à coordonnées cylindriques, polaires ou sphérique par exemple) sont les

systèmes cartésiens eux-mêmes. En d'autres termes, dans un système de coordonnées

cartésiennes, il n'y a pas de différence entre les composantes covariantes et contravariantes

puisque

Revenons maintenant sur quelque chose qui va nous sembler bien ancien... Dans le chapitre de

Calcul Vectoriel, nous avons définis et étudiés ce qu'étaient le produit vectoriel et le produit

mixte. Nous allons voir maintenant une autre manière de représenter ceux-ci et voir que cette

représentation permet d'obtenir un résultat pour le moins pertinent!

Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel que le produit vectoriel était donné par :

(14.80)

Or, ce que nous n'avions pas vu et que nous pouvons constater maintenant de manière triviale

c'est que cette expression n'est que le déterminant des matrices suivantes :

(14.81)

Mais comme nous faisons du calcul tensoriel, il nous faut maintenant proprement distinguer

composantes covariantes et contravariantes. Nous allons donc récrire cela correctement avec

les composantes contravariantes :

(14.82)

De même, le produit mixte peut être écrit à l'aide de cette relation et notation :

(14.83)

Or, en regardant l'expression du déterminant nous voyons assez facilement, sans même avoir à

faire les développements (si vous ne le voyez pas n'hésitez pas à nous le dire nous

détaillerons!) que :

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