Notes sur la métrique et la signature - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la métrique et la signature - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la métrique et la signature - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le volume euclidien, le déterminant de Gram, le déterminant fonctionnel, les composantes contravariantes...
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(14.84)

Ce qui est fréquemment noté :

(14.85)

avec :

(14.86)

appelé "volume euclidien" (effectivement rappelons que le produit mixte est un volume!)

Remarque: Rappelons encore une fois que si les vecteurs de base sont orthonormés, qu'ils soient

exprimés en coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques alors :

(14.87)

Par ailleurs, nous avons aussi la relation non moins importante :

(14.88)

En utilisant la relation vue dans le chapitre de Calcul Vectoriel :

(14.89)

Or, nous avons vu plus haut que donc :

(14.90)

et finalement :

(14.91)

Ceci ayant été fait revenons à la relation du produit vectoriel :

(14.92)

et exprimons les composantes du déterminant dans leur base duale (en coordonnées

covariantes) :

(14.93)

Bien évidemment, si le produit vectoriel est exprimé en composantes covariantes alors nous

avons :

(14.94)

Maintenant appliquons le produit mixte :

(14.95)

en connaissant l'expression du déterminant d'une matrice carrée (cf. chapitre d'Algèbre

Linéaire) il vient immédiatement :

(14.96)

Inversement, il vient immédiatement :

(14.97)

Or, nous avons vu que dans le chapitre de Calcul Vectoriel que . Il vient alors :

(14.98)

et donc :

(14.99)

Cette dernière relation étant souvent appelée "déterminant de Gram". Un cas particulier très

intéressant nous donne :

(14.100)

écrit autrement :

(14.101)

Ainsi, le volume euclidien est donné par ce que nous appellerons le "déterminant fonctionnel"

du système (expression que nous retrouverons en relativité générale et théorie des cordes):

(14.102)

Si nous notons autrement le déterminant :

(14.103)

COMPOSANTES CONTRAVARIANTES ET COVARIANTES

Jusqu'à maintenant nous avons écrit les indices muets arbitrairement en exposant ou en indice

selon notre bon vouloir. Cependant, cela n'est pas toujours autorisé et parfois le fait qu'un

indice muet soit en exposant ou en indice à une signification bien particulière. Ceci constitue

souvent la difficulté lors de l'étude de certains théorèmes, car si nous n'étudions pas ceux-là

depuis le début, nous ne savons pas vraiment comme interpréter la position des indices muets.

Il faut donc être extrêmement prudent à ce niveau.

Pour un espace vectoriel euclidien rapporté à une base quelconque , le produit scalaire

d'un vecteur par un vecteur de sa base s'écrit:

(14.104)

Donc :

(14.105)

Cette relation est de première importance en physique théorique et en calcul tensoriel. Il est

important de s'en souvenir pour lorsque nous étudierons la contraction des indices plus tard

(vous pouvez observer dans la relation précédente que nous avons "abaissé" l'indice des

composantes du membre droit de l'égalité).

Ces produits scalaires notés , s'appellent les "composantes covariantes", dans la base ,

du vecteur . Ces composantes sont donc définies par:

(14.106)

Remarque: Cela constitue donc une projection d'un vecteur sur un des vecteurs de sa propre base

Elles seront notées au moyen d'indices inférieurs !!! Nous verrons par la suite que ces

composantes s'introduisent naturellement pour certains vecteurs de la physique, par exemple le

vecteur gradient. D'autre part, la notion de composante covariante est essentielle pour les

tenseurs.

Remarque: Les vecteurs de base ont toujours les indices notés en bas car ils sont leurs propres

composantes covariantes (ils se projettent sur eux-mêmes par produit scalaire).

Inversement, les "composantes contravariantes" (autrement dit les composantes non projetées)

peuvent être calculées en résolvant, par rapport aux n inconnues , le système de n équations

de :

(14.107)

Les relations précédentes montrent que les composantes covariantes sont liées aux

composantes classiques et composantes contravariantes sont donc des nombres tels

que:

(14.108)

Elles seront indiquées au moyen d'indices supérieurs !! L'étude des changements de base

permettra de justifier encore plus l'appellation des différentes composantes.

Dans une base orthonormée canonique (cas très particulier), les composantes covariantes et

contravariantes sont identiques comme nous le savons déjà suite à l'étude du déterminant de

Gram. Effectivement :

(14.109)

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