Notes sur la notation indicielle - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la notation indicielle - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la notation indicielle - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la sommation sur plusieurs indices, le symbole de kronecker, le symbole d'antsymétrie.
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NOTATION INDICIELLE

Nous utilisons par la suite des symboles mathématiques: coordonnées, composantes de

vecteurs et tenseurs, éléments de matrice, etc., dont le nombre, dans chaque catégorie, est

grand ou indéterminé. Pour distinguer les divers symboles d'une catégorie nous employons des

indices. Par exemple, au lieu des variables traditionnelles x, y, z nous utiliserons

éventuellement les grandeurs (comme nous l'avons déjà fait en algèbre linéaire). Cette

notation devient indispensable lorsque nous avons des variables en nombre indéterminé.

Ainsi, si nous avons n variables, nous les noterons :

Nous utilisons également des indices supérieurs, selon les besoins; par exemple, .

Afin d'éviter toute confusion avec l'écriture des puissances, la quantité à la puissance p sera

écrite . Lorsque le contexte écarte tout risque d'ambiguïté, l'utilisation des parenthèses

n'est cependant pas fondamentalement nécessaire.

En calcul tensoriel il existe une convention de sommation qui consiste à utiliser le fait que

l'indice répété, ici l'indice i, va devenir lui-même l'indication de la sommation. Nous écrivons

alors, avec cette convention :

(14.12)

ce qui permet de condenser relativement bien les écritures.

Ainsi, pour représenter le système linéaire :

(14.13)

Nous écrirons (remarquez bien comment s'écrivent les composants de la matrice associée) :

(14.14)

en spécifiant que c'est pour .

Nous voyons sur cet exemple, combien la convention de sommation permet une écriture

condensée et donc puissante.

La convention de sommation s'étend à tous les symboles mathématiques comportant des

indices répétés. Ainsi la décomposition d'un vecteur sur une base s'écrit

pour dès lors :

(14.15)

En résumé, toute expression qui comporte un indice deux fois répété représente une somme

sur toutes les valeurs possibles de l'indice répété.

Remarque: Nous nommons, pour des raisons évidentes que nous détaillerons plus loin, la

"composante contravariante" du vecteur .

SOMMATION SUR PLUSIEURS INDICES

La convention de sommation (due à Einstein) s'étend au cas où figurent, en règle générale,

plusieurs indices répétés en positions supérieure et inférieure dits "indices muets" dans un

même monôme (souvent les physiciens omettent le règle de les mettre en position opposées

comme ce sera aussi le cas souvent sur ce site!). Soit par exemple, la quantité , celle-ci

représente la somme suivante pour i et j prenant les valeurs de 1 à 2:

(14.16)

Ainsi, nous voyons facilement qu'une expression avec deux indices de sommation qui prennent

respectivement les valeurs comportera termes; s'il y a trois indices, de

sommation etc.

Il faut faire cependant attention aux substitutions avec ce genre de notation car si nous

supposons que nous avons la relation:

avec (14.17)

Pour obtenir l'expression de A uniquement en fonction des variables , nous ne pouvons pas

écrire:

(14.18)

car cela ne revient pas à la même expression après développement puisque les indices muets

sont systématiquement sommés de manières identiques et rigides (nous laissons au lecteur le

soin de faire ce petit exercice de style).

SYMBOLE DE KRONECKER

Un symbole introduit par le mathématicien Kronecker, est le suivant (souvent utilisé en

physique en général dans de nombreux domaines):

(14.19)

Ce symbole est appelé "symbole de Kronecker". Il permet avantageusement d'écrire, par

exemple, le produit scalaire de deux vecteurs et , de norme unité et orthogonaux entre

eux, sous la forme:

(14.20)

Lors d'une sommation portant sur deux indices muets, le symbole de Kronecker annule tous les

termes où les indices ont des valeurs différentes. Par exemple:

(14.21)

Nous retrouverons ce symbole dans de nombreux exemples de physique théorique (physique

quantique ondulatoire, physique quantique des champs, relativité générale, mécanique des

fluides, etc..)

SYMBOLE D'ANTSYMÉTRIE

Un autre symbole fort utile est le "symbole d'antisymétrie" ou appelée aussi "tenseur

d'antisymétrie" que nous retrouverons en Électrodynamique, en Relativité Générale et en

Physique Quantique Relativiste.

Dans le cas où i, j, k prennent l'une des valeurs {1,2,3} le symbole d'antisymétrie aura les

valeurs définies suivantes:

- , si deux quelconques des indices ou plus ont une valeur identique

- , si les indices sont dans l'ordre 1, 2, 3 ou proviennent d'un nombre pair de

permutations des indices par rapport à l'ordre initial des indices.

- , si les indices sont dans un ordre qui provient d'un nombre impair de permutations

par rapport à l'ordre initial des indices.

En utilisant ce symbole, un déterminant d'ordre deux (voir algèbre linéaire) s'écrit alors sous la

forme avantageuse :

(14.22)

et le produit vectoriel (et ça c'est très pratique en relativité générale) :

(14.23)

où bien sûr, j et k sont sommés et où l'indice muet i est le numéro de la ligne du vecteur

résultant (en cas de demande nous ferons les développements). En particulier, le rotationnel

d'un champ vectoriel est alors :

(14.24)

Comme exemple, calculons en notation indicielle le double produit vectoriel :

(14.25)

où à nouveau, l'indice muet i est le numéro de la ligne du vecteur résultant (en cas de demande

nous ferons les développements).

Démonstration:

Nous avons indirectement démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel la partie suivante:

(14.26)

que nous pouvons démonter en détails dans le chapitre précédemment mentionné sur

demande.

Pour démontrer la relation:

(14.27)

au changement d'indices près montrons d'abord que:

(14.28)

ce qui nous donne:

(14.29)

faisons le développement que pour la première ligne (c'est déjà suffisamment long...):

(14.30)

C'est ce qu'il fallait montrer.

Maintenant montrons que pour la première ligne nous avons bien:

(14.31)

en s'aidant d'un résultat obtenu dans le chapitre de Calcul Vectoriel (produit vectoriel de trois

vecteurs différents) nous avons le premier terme (la première ligne du vecteur résultant du

calcul):

(14.32)

Il est alors immédiat que (pour i valant 1):

(14.33)

Montrons maintenant que pour i valant 1 nous avons aussi:

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