Notes sur la notation indicielle - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la notation indicielle - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la notation indicielle - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les exemples.
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(14.34)

Effectivement:

(14.35)

C.Q.F.D.

Comme deuxième exemple, montrons comment la divergence d'un rotationnel s'annule :

(14.36)

Comme de par le théorème de Schwarz est symétrique dans les indices et que est

antisymétrique (par définition) dans les mêmes indices, la somme sur i et j doit nécessairement

s'annuler. Par exemple, la contribution à la somme du terme est l'opposée de celle

de .

Remarques:

R1. Le symbole d'antisymétrie est très souvent appelé "tenseur de Levi-Civita" dans la littérature.

Au fait, bien que ce soit bien un tenseur sous la forme de ses notations, il s'agit plus d'un outil

mathématique qu'un "être" mathématique d'où la préférence de certains physiciens de le nommer

"symbole" plutôt que "tenseur". Mais c'est à vous de voir...

R2. Par abus d'écriture nous n'écrivons pas le vecteur de base mais en toute rigueur, et pour

éviter de l'oublier, rappelons qu'afin d'équilibrer les membres de l'égalité et dans le souci de

préciser que les vecteurs sont exprimés dans la même base, nous devrions écrire :

(14.37)

Voyons maintenant des applications concrètes de cette notation indicielle en reprenant

l'exemple du changement de base que nous avons déjà vu en calcul vectoriel :

Soient deux bases et d'un espace vectoriel euclidien . Chaque

vecteur d'une base peut être décomposé sur l'autre base sous la forme d'une application

linéaire (matrice de changement de base - voir chapitre d'Algèbre Linéaire) :

et (14.38)

où nous utilisons bien évidemment la convention de sommation pour

Rappelons que la matrice de changement de base (ou "matrice transformation") doit avoir

autant de colonnes que le vecteur de base a de lignes (dimensions). Petit exemple à trois

dimensions:

(14.39)

et il est évident qu'il est bien plus sympathique d'écrire cela sous la forme:

(14.40)

où donc sur A, nous avons le k qui représente la colonne de la matrice et i la ligne.

Un vecteur quelconque de peut être décomposé (nous l'avons déjà vu) sur chaque base

de sous la forme:

(14.41)

Si nous cherchons les relations entre les composantes et il suffit de reprendre les

relations de changement de base et nous avons alors (cela revient à faire de l'algèbre linéaire):

(14.42)

De suite par l'unicité de la décomposition d'un vecteur sur une base, nous pouvons égaler les

coefficients des vecteurs de base et nous obtenons (il faut prendre garde a réarranger à

nouveau l'ordre des termes car la multiplication matricielle n'est pas commutative comme nous

le savons déjà) :

et (14.43)

Il vient également la relation triviale (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) :

(14.44)

Effectivement faisons un exemple explicite simple avec une matrice de dimension 2:

(14.45)

Une autre manière élégante de montrer en toute généralité la relation antéprécédente est de se

rappeler du résultat démontré juste plus haut:

(14.46)

et en utilisant:

(14.47)

Il vient alors:

(14.48)

Les vecteurs de base étant linéairement indépendants, cette dernière relation implique que

lorsque :

(14.49)

et lorsque :

(14.50)

Ainsi il vient:

(14.51)

Quant au produit scalaire, les résultats obtenus avec la notation indicielle sont forts

intéressants et extrêmement puissants. Nous avons déjà défini le produit scalaire dans le

chapitre de Calcul Vectoriel mais voyons comment nous manipulons ce dernier avec la notation

indicielle:

Considérons un espace vectoriel euclidien rapporté à une base quelconque . Les

vecteurs s'écrivent sur cette base (nous le savons déjà):

, (14.52)

Le produit scalaire relativement à ses propriétés et à la notation indicielle s'écrit alors:

(14.53)

Relation fonamentale pour la physique de pointe (relativité générale et théorie des cordes) qui

fait apparaître le "tenseur métrique covariant" :

(14.54)

et pour satisfaire la propriété de commutativité du produit scalaire (cf. chapitre de Calcul

Vectoriel) nous devons évidemment avoir l'égalité:

(14.55)

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