Notes sur la notion d'emprunt, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 January 2014

Notes sur la notion d'emprunt, Notes de Management

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Notes de gestion sur la notion d'emprunt. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les emprunts indivis, La décomposition de l'annuité en amortissement et intérêts, l'emprunt à échéance fixe, l'emprunt a amortiss...
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Les individus et les entreprises recourent souvent à l'emprunt (crédit) comme moyen financier.

Nous allons ici définir les principaux type d'emprunts rencontrés dans la pratique ainsi que les

relations qui les caractérisent.

Définition: Nous appelons "emprunts indivis", un emprunt comportant qu'une seul prêteur, en

général, un établissement financier.

Les principaux points concernant les emprunts sont :

- Connaître l'état de la dette à tout moment

- Connaître le montant à rembourser à chaque période

- Connaître l'intérêt dû à chaque période

Définition: Nous appelons "annuités", les paiements effectués dans le cadre des emprunt. Une

annuité comprend une part de remboursementR appelée aussi "amortissement financier" et une

part d'intérêt I selon la relation :

La décomposition de l'annuité en amortissement et intérêts est une notion importante non

seulement en finance mais aussi en comptabilité. En effet, la part d'amortissement financier

correspond à un remboursement de dette à la différence de l'intérêt qui est une charge

financière.

Nous allons étudier ici trois types d'emprunts :

1. Les emprunts remboursables à échéance fixe

2. Les emprunts à remboursement constant

3. Les emprunts à annuité constante (les plus pratiqués)

Remarques:

R1. Nous considérons ici des emprunts périodiques. Le passage d'une période temporelle à une

autre et le calcul d'un taux équivalent se fera selon les relations déjà démontrées plus haut.

R2. Des annuités mensuelles constantes sont appelées des "mensualités".

EMPRUNT À ÉCHÉANCE FIXE

Définition: Nous parlons d'un "emprunt à échéance fixe" lorsque chaque année, l'annuité

comprend uniquement la part d'intérêt ! La dernière année, l'annuité comprend l'intérêt ainsi

que la totalité (!) du remboursement de l'emprunt.

Remarque: Ce modèle d'amortissement est particulièrement utilisé dans les emprunts

obligatoires, étudiés plus loin.

Les relations suivantes permettent d'établir n'importe quel élément du "tableau

d'amortissement".

Ainsi, l'état de la dette (capital emprunté) C en début d'année k est :

(169)

Le remboursement (amortissement) effectué en fin d'année k est égal à l'amortissement

cumulé en fin d'année k et celui-ci n'a lieu qu'à la dernière année n tel que :

(170)

l'intérêt payé sera constant tout au long de l'époque de remboursement selon un

taux sur le capital d'emprunt tel que :

(171)

L'annuité devient alors :

(172)

Exemple:

Voyons le tableau d'amortissement d'un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé à

l'échéance au bout de 4 ans. Le tableau d'amortissement correspondant sera :

Période Etat de la

dette Amort.

Amort.

Cumulé Intérêt Annuité

k

1 1'000 0 0 100 100

2 1'000 0 0 100 100

3 1'000 0 0 100 100

4 1'000 1'000 1'000 100 1'100

Tableau: 5 - Emprunt avec amortissement à échéance fixe

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 400.-.

EMPRUNT A AMORTISSEMENT CONSTANT Définition: Nous parlons d'un "emprunt à amortissement constant", lorsque montant annuel

remboursé est constant, c'est-à-dire identique d'années en années (système intuitif).

Les relations suivantes permettent d'établir n'importe quel élément du tableau

d'amortissement :

(173)

Exemple:

Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par amortissement constant en 4 ans. Établir

le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. Le tableau d'amortissement

correspondant sera :

Période Etat de la

dette Amort.

Amort.

Cumulé Intérêt Annuité

k

1 1'000 250 250 100 350

2 750 250 500 75 325

3 500 250 750 50 300

4 250 250 1'000 25 275

Tableau: 6 - Emprunt avec amortissement constant

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 250.-. Donc on paie mois qu'avec le

système précédent.

EMPRUNTS A ANNUITÉ CONSTANTE

C'est la cas le plus fréquent (la définition est dans le titre même). Il est utilisé par la plupart des

instituts de petit crédit et de leasing. L'emprunteur connaît d'avance la somme qu'il aura à

payer d'années en années. En d'autres termes, c'est comme s'il s'agissait d'un capital C que l'on

doit solder en faisant à chaque période un retrait constant A : ce qui consiste à déterminer la

valeur actuelle d'un rente postnumerando tel que :

(174)

Les relations suivantes permettent alors d'établir n'importe quel élément du tableau

d'amortissement :

(175)

et puisque , alors :

(176)

dès lors, lorsque , nous avons conformément à ce que nous attendons .

Et donc l'amortissement est de :

(177)

L'amortissement cumulé est un peu moins évident à trouver avec le bon sens, prenons pour

démonstration un amortissement A avec taux t% sur n périodes. Nous avons par définition :

(178)

avec k=2 et n=3 :

(179)

d'où :

(180)

Ainsi, nous avons :

(181)

et aussi :

(182)

Exemple:

Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par annuité constante en 4 ans. Établir le

tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. Le tableau d'amortissement

correspondant sera :

Période Etat de la

dette Amort.

Amort.

Cumulé Intérêt Annuité

k

1 1'000 215 215 100 315

2 785 237 452 78 315

3 548 261 713 55 315

4 287 287 1'000 29 315

Tableau: 7 - Emprunt avec annuité constante

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 262.-. Ce résultat pourrait s'obtenir par

: .

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