Notes sur la notion de moyenne - 2° partie., Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la notion de moyenne - 2° partie., Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la notion de moyenne - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La "moyenne géométrique", La "moyenne mobile", La "moyenne pondérée", La "moyenne fonctionnelle", les propriété...
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(7.26)

peu connue mais découle souvent de raisonnements simples et pertinents (typiquement la

résistance équivalente d'un circuit électrique ayant plusieurs résistances en parallèles). Il existe

une fonction MOYENNE.HARMONIQUE( ) dans MS Excel pour la calculer.

Exemple:

Soit une distance d parcourue dans un sens à la vitesse et dans l'autre (ou pas) à la vitesse .

La vitesse moyenne s'obtiendra en divisant la distance totale 2d par le temps mis à la parcourir:

(7.27)

Si nous calculons le temps mis lorsqu'on parcourt d avec une vitesse c'est tout simplement le

quotient:

(7.28)

Le temps total vaut donc:

(7.29)

La vitesse moyenne (son inverse pour être exacte) sera donc bien du type harmonique :

(7.30)

D7. La "moyenne géométrique" parfois notée simplement G est définie par :

(7.31)

Cette moyenne est souvent oubliée mais néanmoins très connue dans le domaine de l'économétrie

(surtout quand nous étudierons le rendement géométrique moyen) et de la finance d'entreprise (cf.

chapitre Techniques De Gestion) raison pour laquelle il existe une fonction

MOYENNE.GEOMETRIQUE( ) dans MS Excel pour la calculer.

Exemple:

Supposons qu'une banque offre une possibilité de placement et prévoit pour la première année un

intérêt (c'est absurde mais c'est un exemple) de , mais pour la deuxième année un

intérêt de Au même moment une autre banque offre un intérêt constant pour deux

ans: X%. C'est pareil, dirons-nous un peu rapidement. En fait les deux placements n'ont pas la

même rentabilité.

Dans la première banque, un capital deviendra au bout de la première année:

(7.32)

et la seconde année:

(7.33)

Dans l'autre banque nous aurons au bout d'un an:

(7.34)

et après la seconde année:

(7.35)

etc...

Comme vous pouvez le voir le placement ne sera pas identique si ! Donc X% n'est donc pas

la moyenne de et .

Posons maintenant:

et (7.36)

Quelle est en fait la valeur moyenne r ?

Au bout de deux ans le capital est multiplié par . Si la moyenne vaut r il sera alors multiplié

par . Nous avons donc la relation:

(7.37)

C'est un exemple d'application où nous retrouvons donc la moyenne géométrique. L'oubli de la

moyenne harmonique une erreur fréquente dans les entreprises lorsque certains employés

calculent le taux moyen d'augmentation d'une valeur de référence.

D8. La "moyenne mobile", appelée aussi "moyenne glissante" est définie par:

(7.38)

La moyenne mobile est particulièrement utilisée en économie, où elle permet de représenter une

courbe de tendance d'une série de valeurs, dont le nombre de points est égal au nombre total de

points de la série de valeurs moins le nombre que vous spécifiez pour la période.

Une Moyenne Mobile (MM) en finance est calculée à partir des moyennes des cours d'une valeur,

sur une période donnée: chaque point d'une moyenne mobile sur 100 séances est la moyenne des

100 derniers cours de la valeur considérée. Cette courbe, affichée simultanément avec la courbe

d'évolution des cours de la valeur, permet de lisser les variations journalières de la valeur, et de

dégager des tendances.

Les moyennes mobiles peuvent être calculées sur différentes périodes, ce qui permet de dégager

des tendances à court terme MMC (20 séances selon les habitudes de la branche), moyen terme

(50-100 séances) ou long termeMML (plus de 100 séances).

(7.39)

Les croisements des moyennes mobiles par la courbe des cours (découpée avec une certaine

granularité) de la valeur génèrent des signaux d'achat ou de vente (selon les professionnels)

suivant le cas:

- Signal d'achat: lorsque la courbe des cours franchit la MM.

- Signal de vente: lorsque la courbe des cours franchit la MM vers le bas.

Outre la moyenne mobile, précisons qu'il existe une quantité d'autres indicateurs artificiels

souvent utilisés en finance comme par exemple le "upside/downside ratio".

L'idée est la suivante: Si vous avec un produit financier (cf. chapitre d'Économétrie) actuellement

de prix (prix courant) pour lequel vous avez un objectif de gain haut à un prix haut

correspondant que noterons (high price) et inversement le potentiel de perte que vous estimez

à un prix (low price).

Alors, le rapport:

(7.40)

donne le Upside/Downside Ratio.

Par exemple, un produit financier de 10.- avec un prix bas de 5.- et un prix haut de 5.- a donc un

ratio et donc un facteur spéculatif identique pour permette le grain ou une perte de 5.-.

Un produit financier de 10.- avec un prix bas de 5.- et un prix haut de 20.- a donc

un donc deux fois le potentiel spéculatif de gain par rapport à celui de perte.

Certaines associations boursières recommandent de refuser les inférieurs à 3. Les

investisseurs ont tendance à rejeter les trop élevés pouvant être un signe de gonflage

artificiel.

D9. La "moyenne pondérée" (dont nous avons déjà fait mention plus haut d'un cas particulier) est

définie par:

(7.41)

et est utilisée par exemple en géométrie pour localiser le barycentre d'un polygone, en physique

pour déterminer le centre de gravité ou en statistiques pour calculer une espérance (le

dénominateur étant toujours égal à l'unité en probabilités) et en gestion de projets pour estimer

les durées des tâches.

Dans le cas général le poids représente l'influence pondéré ou arbitraire/empirique de

l'élément par rapport aux autres.

D10. La "moyenne fonctionnelle" ou "moyenne intégrale" est définie par :

(7.42)

où dépend d'une fonction f d'une variable réelle intégrable (cf. chapitre de Calcul Différentiel

Et Intégral) sur un intervalle [a,b]. Elle est très souvent utilisée en théorie du signal (électronique,

électrotechnique).

2.9. PROPRIÉTÉS DES MOYENNES

Voyons maintenant quelques propriétés pertinentes qui relient quelques-unes de ces moyennes

ou qui sont propres à une moyenne donnée.

Les premières propriétés sont importantes donc prenez garde à bien les comprendre :

P1. Le calcul des moyennes arithmétique, quadratique et harmonique peut être généralisé à l'aide

de la relation suivante :

(7.43)

où nous retrouvons :

1. Pour , la moyenne arithmétique

2. Pour , la moyenne quadratique

3. Pour , la moyenne harmonique

P2. La moyenne arithmétique a une propriété de linéarité, c'est-à-dire que (sans démonstration

car quand simple à vérifier) :

(7.44)

C'est la version statistique de la propriété de l'espérance en probabilité que nous verrons plus loin.

P3. La somme pondérée des écarts à la moyenne arithmétique est nulle.

Démonstration:

D'abord, par définition, nous savons que :

et (7.45)

il s'ensuit que :

(7.46)

Ainsi, cet outil ne peut être utilisé comme mesure de dispersion!

Par extension la moyenne des écarts à la moyenne pondérée par les effectifs est nulle aussi :

(7.47)

C.Q.F.D.

Ce résultat est relativement important car il permettra plus loin de mieux saisir le concept d'écart-

type et de variance.

P4. Soit à démontrer :

(7.48)

Démonstration:

Tout d'abord, nous prenons deux nombres réels non nuls et tels que et nous

écrivons :

1. La moyenne arithmétique :

(7.49)

2. La moyenne géométrique :

(7.50)

3. La moyenne harmonique :

(7.51)

4. La moyenne quadratique :

(7.52)

Remarque: Les comparaisons entre les moyennes précitées et la médiane ou encore les moyennes

glissantes et pondérées n'ont pas de sens c'est pour cela que nous nous abstenons à les faire.

Prouvons déjà que par l'absurde en posant :

(7.53)

Par commodité posons nous savons que . Or :

(7.54)

et nous cherchons à montrer que n'est pas possible. Mais ceci découle des

équivalences suivantes :

(7.55)

Il y donc contradiction et ce qui vérifie notre hypothèse initiale :

(7.56)

Regardons maintenant si :

Sous l'hypothèse . Nous cherchons donc maintenant à montrer que :

(7.57)

Or nous avons les équivalences suivantes :

(7.58)

et la dernière expression est évidement correcte.

Or le carré d'un nombre est toujours positif ce qui vérifie notre hypothèse initiale :

(7.59)

Nous prouvons maintenant et démontrons-le par l'absurde en posant :

(7.60)

Or le carré d'un nombre est toujours positif ce qui vérifie notre hypothèse initiale :

(7.61)

Nous avons donc bien :

(7.62)

Démontrons par l'absurde que en posant et que .

Démonstration:

Nous avons alors :

(7.63)

Il y a donc contradiction avec l'hypothèse initiale et nous avons donc bien :

(7.64)

C.Q.F.D.

Ces inégalités démontrées, nous pouvons alors passer à une figure que nous attribuons à

Archimède pour placer trois de ces moyennes. L'intérêt de cet exemple est de montrer qu'il existe

des relations remarquables parfois entre la statistique et la géométrie (fruit du hasard ???).

(7.65)

Nous allons d'abord poser et O est le milieu de . Ainsi, le cercle

dessiné est de centre O et de rayon . D est l'intersection de la perpendiculaire

à passant par B et du cercle (nous choisissons l'intersection que nous voulons). H est quant

à lui le projeté orthogonal de B sur .

Archimède affirme que est la moyenne arithmétique de a et b et que est la moyenne

géométrique dea et b, et la moyenne harmonique de a et b.

Nous démontrons donc que (trivial) :

(7.66)

Donc est bien la moyenne arithmétique de a et b.

Ensuite nous avons dans le triangle rectangle ADB:

(7.67)

Puis dans le triangle rectangle nous avons :

(7.68)

Nous additionnons alors ces deux égalités, et nous trouvons :

(7.69)

Nous savons que D est sur un cercle de diamètre , donc ADC est rectangle en D, donc :

(7.70)

Puis nous remplaçons et par a et b:

(7.71)

Et donc, est bien la moyenne géométrique de a et b.

Nous reste à prouver alors que est la moyenne harmonique de a et b :

Nous avons dans un premier temps (projection orthogonale) :

(7.72)

Puis nous avons aussi (projection orthogonale aussi):

(7.73)

Nous avons donc :

(7.74)

et comme , nous avons donc :

(7.75)

est donc bien la moyenne harmonique de a et b, Archimède ne s'était pas trompé.

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