Notes sur la notion des matrices, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la notion des matrices, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur la notion des matrices. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: notion et définition, les opérations sur les matrices.
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MATRICES

Nous appelons donc "matrice" à m et lignes et n colonnes, ou "matrice de type mn" (le premier

terme correspond toujours aux lignes et le second aux colonnes, pour s'en souvenir il existe un

bon moyen mnémotechnique : le président LinColn - abréviation de Ligne et Colonne...), tout

tableau de nombres :

(13.29)

Nous désignons souvent une matrice de type plus brièvement par :

(13.30)

ou simplement par .

Le nombre est appelé "terme ou coefficients d'indices i, j". L'indice i étant appelé "indice de

ligne" et l'indice j "indice de colonne".

Nous notons l'ensemble des matrices dont les coefficients prennent leurs

valeurs dans K (pouvant être ou par exemple).

Lorsque , nous disons que est une "matrice carrée" d'ordre n. Dans ce cas, les

termes sont appelées "termes diagonaux".

Nous appelons également une matrice à une seule ligne "matrice-ligne" et une matrice à une

seule colonne "matrice-colonne". Il est claire qu'une matrice colonne n'est rient d'autre qu'un

"vecteur-colonne". Par la suite, les lignes d'une matrice seront assimilées à des matrices-lignes

et les colonnes à des matrices-colonnes.

L'intérêt de la notion de matrice apparaître tout au long des textes qui vont suivre mais la

raison d'être immédiate de cette notion est simplement de permettre à certaines familles finies

de nombres d'être conçues sous la forme d'un tableau rectangulaire.

Nous assignerons aux matrices des symboles propres, à savoir les lettre latines majuscules

: A,B,... et aux matrices-colonnes des symboles à savoir les lettres minuscules

vectorielles ; nous les appellerons d'ailleurs indifféremment matrices-colonnes ou

vecteurs-colonnes.

Nous appelons "matrice nulle", et nous la notons O, toute matrice dont chaque terme est nul.

Les matrices-colonnes sont également désignées par le symbole vectoriel : .

Nous appelons "matrice unité d'ordre n" ou "matrice identité d'ordre n", et nous notons , ou

simplement I, la matrice carrée d'ordre n :

(13.31)

Nous verrons plus loin que la matrice nulle joue le rôle d'élément neutre de l'addition

matricielle et la matrice unité d'élément neutre de la multiplication matricielle.

Attention! Lorsque nous travaillons avec les matrices à coefficients complexes il faut toujours

utiliser le terme "matrice identité" plutôt que "matrice unitaire" car dans le domaine des

nombres complexes la matrice unitaire est un autre objet mathématique qu'il convient de ne

pas confondre!

Nous allons maintenant revenir brièvement sur la définition de "rang d'une famille finie" que

nous avons vu en calcul vectoriel.

Rappel : Nous appelons "rang" d'une famille de vecteurs la dimension du sous-espace vectoriel

de qu'elle engendre.

Ainsi, soit les colonnes d'une matrice A, nous appelons "rang de A", et nous

notons , le rang de la famille .

Dans un langage un peu plus familier (...) le rang d'une matrice est donné par le nombre de

matrice-colonnes qui ne peuvent s'exprimer par la combinaison et la multiplication par un

scalaire d'autres matrices-colonnes de la même matrice.

Remarque: S'il a y des difficultés à déterminer le rang d'une matrice il existe un technique

"d'échelonnage" des matrices que nous allons voir plus tard qui permet d'effectuer ce travail très

rapidement.

Définition: Nous appelons "matrice associée au système" :

(13.32)

l'objet mathématique défini par :

(13.33)

c'est-à-dire la matrice A dont les termes sont les coefficients du système. Nous appelons

"matrice du second membre du système linéaire", ou simplement "second membre du système",

la matrice-colonne dont les termes sont les coefficients du second membre de ce

système. Nous appelons également "matrice augmentée associée au système" la matrice

obtenue de A en ajoutant comme (n + 1)-ème colonne.

Si nous considérons maintenant un système de matrice associée A et de second membre .

Désignons toujours par les colonnes de A. Le système s'écrit alors de manière

équivalente sous la forme d'une équation vectorielle linéaire :

(13.34)

Maintenons rappelons un théorème que nous avons vu en calcul vectoriel : pour que le rang

d'une famille de vecteurs soit égal au rang de la famille

augmentée , il faut et il suffit que le vecteur soit combinaison linéaire des

vecteurs .

Il s'ensuit que notre système linéaire sous forme vectorielle admet au moins une

solution si le rang de la famille est égal au rang de la famille

augmentée et cette solution est unique si et seulement si le rang de la

famille est n.

Ainsi, pour qu'un système linéaire de matrice associée A et de second membre admette au

moins une solution, il faut et il suffit que le rang de A soit égal au rang de la matrice

augmentée . Si cette condition est remplie, le système admet une seule solution si et

seulement le rand de A est égal au nombre d'inconnues autrement dit, les colonnes de A sont

linéairement indépendantes.

Nous disons qu'une matrice est "échelonnée" si ses lignes satisfont aux deux conditions

suivantes :

C1. Toute ligne nulle n'est suivie que de lignes nulles

C2. L'indice de colonne du premier terme non nul de toute ligne non nulle est supérieur à

l'indice de colonne du premier terme non nul de la ligne qui la précède.

Une matrice échelonnée non nulle est donc de la forme :

(13.35)

où et sont des termes non nuls. Bien entendu, les lignes nulles

terminales peuvent manquer.

Remarque: Nous supposerons relativement évident que les matrices nulles et les matrices unités

sont échelonnées.

Les colonnes d'indice d'une matrice échelonnée sont clairement linéairement

indépendantes. Envisagées comme des vecteurs-colonnes de , elles forment donc une base

de cet espace vectoriel. En considérant les autres colonnes également comme des vecteurs-

colonnes de , nous en déduisons qu'elles sont nécessairement combinaison linéaire de

celles d'indice et donc que le rang de la matrice échelonnée est r.

Nous noterons que r est aussi le nombre de lignes non nulles la matrice échelonnée et

également le rang de la famille des lignes de cette matrice, puisque les lignes non nulles sont

dès lors manifestement indépendantes.

Nous pouvons dès lors nous autoriser un certain nombre d'opérations élémentaires

(supplémentaires) sur les lignes des matrices qui nous seront fort utiles et ce, sans changer son

rang :

P1. Nous pouvons permuter les lignes.

Remarque: La matrice est juste une représentation graphique esthétique d'un système linéaire.

Ainsi, permuter deux lignes ne change aucunement le système.

P2. Multiplier une ligne par un scalaire non nul

Remarque: Cela ne changeant en rien l'indépendance linéaire des vecteurs-lignes.

P3. Additionner à une ligne, un multiple d'une autre

Remarque: La ligne additionnée disparaîtra au profit de la nouvelle qui est indépendante de

toutes les (anciennes) autres. Le système reste ainsi linéairement indépendant.

Toute matrice peut être transformée en matrice échelonnée par une suite finie d'opérations de

type P1, P2, P3. C'est cette technique que nous utilisons dans le chapitre traitant des

algorithmes pour résoudre les systèmes linéaires.

Il est donc évident que les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice ne modifient

pas le rang de la famille des lignes de cette matrice. Or, nous avons observé que le rang de la

famille des lignes d'une matrice échelonnée est égal au rang de la famille des colonnes, c'est-à-

dire au rang de cette matrice. Nous en concluons que le rang de n'importe quelle matrice de

type est également le rang de la famille des lignes de cette matrice.

Comme corollaire de cette conclusion, il apparaît que :

(13.36)

Lors de la résolution de système linéaires de m équations à n inconnues il apparaît, comme

nous l'avons déjà fait remarquer tout au début de ce chapitre, qu'il doit y avoir au moins un

nombre égal d'équations ou d'inconnues ou plus rigoureusement : le nombre d'inconnues doit

être inférieur ou égal aux nombre d'équations tel que :

(13.37)

OPÉRATIONS SUR LES MATRICES

Rappelons que nous avons vu lors de notre étude du calcul vectoriel que les opérations de

multiplication d'un vecteur par un scalaire, d'addition ou soustraction de vecteurs entre eux et

l'opération de produit scalaire formait dans le sens ensembliste du terme un "espace vectoriel"

(voir le chapitre de théorie des ensembles) possédant ainsi aussi une "structure algébrique

vectorielle". Ceci sous la condition que les vecteurs aient bien sûr les mêmes dimensions (ce

constat n'étant pas valable si au lieu du produit scalaire nous prenions le produit vectoriel).

Au même titre que les vecteurs, nous pouvons multiplier une matrice par un scalaire et

additionner celles-ci entre elles (tant qu'elles ont les mêmes dimensions...) mais en plus, nous

pouvons aussi multiplier deux matrices entre elles sous certaines conditions que nous

définirons ci-après. Cela fera également de l'ensemble des matrices dans le sens ensembliste

du terme, un espace vectoriel sur le corps K et possédant ainsi aussi une "structure algébrique

vectorielle".

Ainsi, un vecteur pourra aussi être vu comme une matrice particulière de

dimension et s'opérer dans l'espace vectoriel des matrices. En gros..., le calcul

vectoriel n'est qu'un cas particulier de l'algèbre linéaire.

Définitions:

D1. Soient . Nous appelons "somme de A et B" la matrice dont les

coefficients sont :

(13.38)

D2. Soient une matrice et un scalaire. Nous appelons "produit de A par "

la matrice dont les coefficients sont :

(13.39)

De ses deux définitions nous pouvons donc effectivement conclure que l'espace/ensemble des

matrices est bien un espace vectoriel et possède ainsi une structure algébrique vectorielle.

D3. Soient E, F, G trois espaces vectoriels de bases respectives

et deux applications linéaires (voir théorie des ensembles

aussi pour un rappel).

Notons A la matrice de f relativement aux bases et B la matrice de g relativement aux

bases . Alors la matrice C de (voir la définition d'une fonction composée dans le

chapitre d'analyse fonctionnelle) relativement aux bases est égale au produit

de B par A noté BA.

et (13.40)

et (13.41)

Donc soient et , nous appelons "produit matriciel" ou "multiplication

matricielle" deB par A et nous notons BA, la matrice dont les coefficients sont :

(13.42)

Il est important de remarque que contrairement à l'addition, A et B peuvent avoir des

dimensions différentes. Toutefois! le nombre de lignes de A doit être égale au nombre de

colonnes de B, comme l'indique des l'indice ndes deux matrices. Donc dans le produit BA,

si B est une matrice , A doit être une matrice , quel que soit p.

En notant par des lettres latines majuscules les matrices et par les lettres grecques minuscules

les scalaires, le lecteur vérifiera aisément (nous pouvons rajouter les démonstrations sur

demande) les relations :

(13.43)

Il est surtout important de se rappeler de la dernière ligne comme quoi la multiplication

matricielle n'est pas commutative.

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