Notes sur la propagation des épidémies - 1° partie , Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or13 January 2014

Notes sur la propagation des épidémies - 1° partie , Notes de Management

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Notes de gestion sur la propagation des épidémies - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La "théorie des épidémies", le modèle SIR, le modèle proies-prédateurs (de lotka-volterra), la "solution d'...
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La "théorie des épidémies" fournit de nombreux systèmes intuitifs d'équations différentielles ou

aux dérivées partielles en temps discret dans lesquelles interviennent des phénomènes de

contamination, de diffusion, etc.

Nous allons ici prendre l'exemple de la diffusion de la rage dans une population de renards, et

en présenter un modèle assez simple où nous considérons que les individus (les renards)

peuvent se trouver dans trois états différents :

1. Il y a des renards sains S

2. Des renards infectés I

3. Et des renards morts R

Cette hypothèse des classification en trois catégories fait que ce modèle de propagation des

épidémies est souvent appelé "modèle SIR".

Pour les plus optimistes, nous pouvons aussi utiliser le modèle qui suppose que certains

individus sont immunisés et ne peuvent dons plus être infectés. Finalement, à trois états

différents, nous pouvons lier trois équations d'évolutions propres telles que :

(64)

avec :

(65)

où les S, I, R sont donnés en % de la population totale.

Dans ce modèle, la première équation correspond au phénomène de contamination : lorsque

cohabitent des individus sains et des individus infectés, un certain nombre d'individus sains

sont infectés. Il est par ailleurs naturel de considérer ce terme comme proportionnel au

produit . En effet, la quantité de microbes dans le milieu défini (donc la facteur r pour un

individu sain donné d'être infecté en présence d'un individu infecté) est proportionnelle

à I selon le facteur. Il nous faut ensuite multiplier cette probabilité par le nombre d'individus

sains, c'est-à-dire par S. Le signe négatif est quant à lui présent pour signifier la diminution de

la population saine.

Pour ce qui est des variations de I, le premier terme correspond aux individus contaminés (qui

augmentent I). Le deuxième terme, en -aI, correspond aux individus qui meurrent.

Le tracé ci-dessous, montre un calcul de l'évolution des populations S, I, R en fonction du

temps (une seconde étant considérée comme une boucle de l'algorithme). Selon les valeurs des

paramètres a, r les comportements sont complètement différents : si a est trop élevé par

exemple, les individus infectés meurent presque tout de suite et non pas le temps d'en infecter

beaucoup d'autres (...). Voici un tracé de l'évolution des population au cours du temps, effectué

avec l'algorithme suivant sur Matlab avec

(66)

L'algorithme étant du type suivant :

Pour i=1 à (temps max)/(par du temps) faire

dS=-r*S(i)*I(i);

dI=r*S(i)*I(i)-a*I(i);

dR=a*I(i);

S(i+1)=S(i)+dt*dS;

I(i+1)=I(i)+dt*dI;

R(i+1)=R(i)+dt*dR;

Fin Pour

Nous pouvons bien sûr arriver à de nombreux modèles suivant les hypothèse que nous faisons

sur la maladie étudiée. Il sera souvent intéressant de définir plus de catégories de populations.

Ainsi, pour des modèles de M.S.T. (Maladies Sexuellement Transmissibles), nous différencierons

les populations suivant leur sexe (il faudrait aussi prendre l'âge en compte), ce qui multiplie le

nombre de possibilités déjà par deux. Pour définir le système différentiel sous-jacent, il est

devient ainsi préférable de modéliser le processus par un schéma :

Ainsi, pour étudier une infection de type SIDA (Syndrome d'Immunodéficience Acquise), nous

pouvons par exemple faire un modèle dans lequel nous considérons quatre groupes de

population : les individus sains X, les individus infectés Y, les porteurs sains Z, et enfin les

individus malades A. Dans le schéma qui suit, les flèches entre les différents états représentent

les transitions possible pour un individu donné avec les probabilités correspondantes :

(67)

En effet, du point de vue de l'étude du SIDA (et uniquement du SIDA), un individu donné, quel

que soit son état, peut mourir d'autre chose que le SIDA, c'est ce que nous rangeons dans "mort

naturelle". Nous considérons qu'il y a un taux de mortalité fixe, noté n, ce pour toutes les

populations considérées (sains, infectés, malades ou porteurs sains). D'autre part, un individu

sain X peut aussi être contaminé, auquel cas il devient un individu infecté Y. Un individu infecté

peut lui évoluer vers deux stades possibles : malade A ou porteur sain Z.

Le nombre s représente la vitesse dévolution de la maladie : plus ce taux est grand, plus les

individus infectés évoluent vite vers l'un des stades suivants. Le nombre p, compris entre 0 et 1,

représente la probabilité pour que cette évolution se fasse vers l'état de malade. Bien sûr,

si p diminue, la quantité de porteurs sains, immunisés contre la maladie, augmente. La maladie

est alors moins dangereuse globalement. Enfin, un malade peut mourir de sa maladie, ce avec

un taux de mortalité d considéré comme fixe, alors qu'un porteur sain, immunisé, ne peut plus

évoluer du point de vue de cette maladie. Toutes ces hypothèses conduisent à poser des

équations du système de la forme :

(68)

où :

(69)

En effet, ce coefficient représente un taux de contamination, qu'il est naturel de relier au

rapport , probabilité lors d'une rencontre pour que la personne rencontrée

soit infectée, donc contaminante.

MODÈLE PROIES-PRÉDATEURS (DE

LOTKA-VOLTERRA)

Ce modèle d'interaction proies-prédateurs, a été proposé par Volterra après la première guerre

mondiale. Il s'agissait d'expliciter la dynamique des population de sardines et de requins en

mer Adriatique (et hop! un peu d'océanographie sur le site...); expliquer notamment pourquoi

les quantités de sardines pêchées après l'interruption due à la guerre n'étaient plus aussi

importantes que précédemment (ce qui peut sembler contre intuitif) et pourquoi à la reprise de

la pêche la proportion observée de requins avait augmenté.

Reprenant ce que nous avions vu tout au début de ce chapitre et en notant N(t) le nombre

d'individus proies etP(t) le nombre d'individus prédateurs nous avons (croissance exponentielle

en absence de pêche) :

(70)

et en l'absence de proies (dans le cas d'une pêche), le nombre de prédateurs diminuant

exponentiellement, nous avons respectivement :

(71)

A ce point du discours, nous devons considérer deux espèces (proies et prédateurs) qui ne sont

pas isolés mais en interaction. Pour quantifier la contribution de l'interaction entre espèces,

nous considérerons seulement la prédation, en assumant que sa valeur ou intensité (de

l'interaction) est fonction de la probabilité de rencontre des proies-prédateurs qui sera elle

supposée proportionnelle au produit du pourcentage des deux populations.

Les effets de ces rencontres n'ont pas les mêmes effets sur les deux espèces. Premièrement,

bien sûr, chaque proie mangée par un prédateur est un gain net pour la population de ce

dernier est une perte nette pour le premier. Ainsi, si l'effet des interactions est accepté comme

étant proportionnel à , les signes de l'influence d'interaction différeront pour les deux

espèces selon :

(72)

Avant d'aller plus loin, cherchons les valeurs pour lesquelles les dérivées s'annulent (ce qui

nous donnera au fait le point d'équilibre du système) :

(73)

d'où :

(74)

Une solution triviale est la "solution d'extinction" donnée par . Sinon, nous avons :

(75)

Maintenant, normalisons les équations de Lotka-Volterra en écrivant (ainsi elles sont sans

dimensions) :

(76)

Avec cette normalisation, le modèle de Lotka-Volterra s'écrit :

(77)

En réarrangeant les coefficients, le système s'écrit :

(78)

pour lequel les dérivées s'annulent aux point unitaires.

Le tracé discret de ce système d'équations (dans lequel nous reconnaissons les termes

logistiques vu plus haut), donne avec et les conditions

initiales :

(79)

En comparaison, voici un exemple pratique (réel) de mesure de proies-prédateur (Lynx - Lièvre)

par la Hudson Bay-Company :

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