Notes sur la propagation des épidémies - 2° partie. , Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or13 January 2014

Notes sur la propagation des épidémies - 2° partie. , Notes de Management

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Notes de gestion sur la propagation des épidémies - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les deux diagrammes, le système, la solution triviale.
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(80)

Les deux diagrammes précédents représentent donc les variables x, y en fonction du temps.

Cependant, ce qui peut être intéressant pour un scientifique (ou un écologiste...) c'est la

représentation de y en fonction de x et inversement. Ainsi, nous obtenons pour les mêmes

conditions initiales m, r, b, c précédentes et pour des conditions diverses (les

prédateurs sont en ordonnées et les proies en abscisses) :

(81)

Nous voyons ainsi (dans cette représentation de l'espace des phases) que pour des conditions

initiales fixes, le système est périodique et a un point d'équilibre en . Ce qui

correspond aux points où :

(82)

Finalement, nous avons deux couples de points d'équilibre (c'est trivial en regardant le système

d'équation) :

et (83)

La question qui se poser est le sens de rotation (représentation) du plan des phases. Ainsi, en

représentant les directions à l'aide d'un champ de vecteurs, nous obtenons la représentation

(plus intéressante pour comprendre les observations de la pêche après la guerre...).

(84)

Pour savoir dans quelle direction nous nous dirigeons dans l'espace des phases à un moment

donné, il suffit donc de connaître la dérivée dy/dx (ou réciproquement dx/dy). Ainsi nous avons

:

(85)

Ceci dit, nous voyons bien sur le diagramme des phases dans sa forme de champ de vecteurs

qu'il arrive un moment dans le cycle de ce modèle que le nombre de prédateurs soit très élevé

pour un faible nombre de proies. Donc le modèle mathématique (théorique) explique bien ce

qui peut être à priori contre intuitif pour l'être humain. Il devient dès lors évident de deviner en

quels points du cycle se trouvaient l'écosystème à la reprise de la pêche après la guerre.

Cependant, nous pouvons (devons) nous poser la question de ce qu'il se passe après un petite

perturbation autour des points d'équilibres (ce qui est de la plus haute importance en écologie).

Nous avons donc le système :

(86)

En y mettant une perturbation infiniment petite, celui-ci s'écrit :

(87)

En négligeant les termes quadratiques nous obtenons :

(88)

Dès lors, proche du point d'extinction , ce système s'écrit :

(89)

Ce qui nous montre que proche du point d'extinction, le nombre d'individus des prédateurs

diminue exponentiellement alors que les proies augmentent elles exponentiellement. Ceci à un

sens biologique : quand il y a peu d'individus prédateurs (respectivement proies), les proies se

multiplient alors qu'au fur et à mesure que le nombre de proies augmentent, les prédateurs se

multiplient et se concentrent de plus en plus sur leurs proies (ahhh la nature...).

Proche du point d'équilibre (1,1), nous aurons :

(90)

Ce cas n'est plus très trivial car nous avons alors des équations différentielles couplées. Pour

résoudre ce système, différentions l'équation des proies par rapport au temps tel que :

(91)

et en y injectant dy/dt (prédateurs) :

(92)

Nous obtenons donc une petit équation différentielle du deuxième ordre (cf. chapitre de Calcul

Différentiel Et Intégral). Dons la solution type est :

(93)

En injectant cette solution dans l'équation différentielle, nous obtenons après simplification des

exponentielles une simple équation du deuxième degré (cf. chapitre de Calcul Algébrique) :

(94)

Dont la solution est triviale :

(95)

Ainsi, la solution générale de l'équation différentielle est la combinaisons linéaire des deux

solutions tel que :

(96)

Mais nous avons donc :

(97)

Dès lors, connaissant x(t) nous obtenons facilement :

(98)

Utilisons maintenant la relation d'Euler (voir le traitement des nombres complexes dans le

chapitre des nombres de la section arithmétique) :

(99)

Ainsi, nous avons :

(100)

et comme (cf. chapitre de Trigonométrie) , nous avons alors

:

(101)

et de manière similaires, nous obtenons pour les prédateurs :

(102)

Ainsi, autour du point d'équilibre (1,1), les perturbations suffisamment petites pour valider la

linéarisation (annulation des termes quadratiques) oscilles comme des ellipses (ou cercles) dont

les axes sont définis par les deux équations précédentes.

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