Notes sur la quantité de mouvement relativiste, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur la quantité de mouvement relativiste, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur la quantité de mouvement relativiste. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les remarques, le quadrivecteur d'énergie-impulsion, RELATION D'EINSTEIN, FORCE RELATIVISTE.
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L'énergie totale E et la quantité de mouvement d'une particule peuvent donc prendre

n'importe quelle valeur positive (si la vitesse tend vers la valeur limite c, la masse s'adapte pour

que le produit ne soit pas borné).

Dans l'expression de E , nous pouvons remplacer la vitesse par une fonction de :

(49.203)

introduit dans :

(49.204)

nous avons :

(49.205)

d'où (nous reviendrons sur cette relation de la plus haute importance lors de notre

démonstration de la relation d'Einstein) :

(49.206)

Nous n'avons pas gardé la partie négative de l'égalité précédente car elle n'a aucun sens en

physique classique. Cependant, lorsque nous étudierons la physique quantique relativiste, il

s'avérera indispensable de la préserver sinon quoi nous arriverons à des absurdités.

Cependant, nous pouvons bien évidemment écrire cette dernière relation aussi sous la forme :

(49.207)

ou encore (beurk!) :

(49.208)

En d'autres termes, l'énergie totale d'une particule en mouvement est égale à son énergie de

masse additionnée par son énergie cinétique (rien de fondamentalement nouveau).

Cette relation présente deux cas limite où nous pouvons réduire la formule :

C1. Pour une particule au repos (p=0), nous pouvons réduire l'expression à (en

omettant l'énergie négative...pour l'instant).

C2. Nous pouvons appliquer l'équation à une particule sans masse de manière à éliminer le

premier terme ce qui nous donne alors .Un photon, par exemple, à une masse nulle au

repos mais il n'est jamais au repos... Par définition, c'est un quantum d'énergie, son énergie

cinétique n'est donc jamais nulle et il a donc un masse correspondant à son énergie cinétique.

Ainsi, une particule de masse nulle au repos se déplace à la vitesse de la lumière, quel que soit

le référentiel choisi! A l'inverse, une particule ayant une masse au repos non-nulle ne pourra

jamais atteindre la vitesse de la lumière dans aucun référentiel.

Remarques:

R1. Comme nous le démontrerons plus loin (voir la "relation d'Einstein"), à partir de la définition

de la loi de Planck, nous pourrons écrire

R2. La masse du photon peut difficilement être non nulle! Effectivement, la théorie quantique

serait alors dans le cas contraire fausse. Or, elle n'a jamais été mise à défaut à ce jour (cf. chapitre

de Physique Quantique Ondulatoire). On aurait également un léger changement sur la loi des

forces électrostatiques et gravitationnel selon le potentiel de Yukawa (cf. chapitre de Physique

Quantique Des Champs) et cela se remarquerait.

Cherchons maintenant les relations entre p et p' ainsi qu'entre E et E', pour qu'il soit possible

à O' d'écrire :

(49.209)

Nous commençons alors à nous débarrasser de la racine carrée:

(49.210)

Si O écrit :

(49.211)

O' doit pouvoir écrire :

(49.212)

Nous avons donc :

(49.213)

Si nous comparons :

, , et (49.214)

nous obtenons des expressions exactement semblables à celles utilisées pour les

transformations de Lorentz des composantes spatiales et temporelles. Nous pouvons alors

écrire, par similitude, que les transformations pour la quantité de mouvement et l'énergie sont

dès lors données par :

(49.215)

À nouveau, si nous prenons :

(49.216)

toujours avec .

Nous avons dès lors en exprimant toutes les relations précédentes de transformation dans les

mêmes unités en se souvent que :

(49.217)

Nous pouvons alors définir un matrice telle que:

(49.218)

où nous retrouvons la "matrice de Lorentz" ou "tenseur symétrique de Lorentz" .

Le vecteur :

(49.219)

est quant à lui, appelé le "quadrivecteur d'énergie-impulsion". Son utilité est que sa valeur est

conservée, lors d'une réaction nucléaire. Si nous additionnons ces vecteurs sur toutes les

particules (sans oublier les photons) avant et après la réaction, nous trouve les mêmes sommes

pour les 4 composantes.

Remarques:

R1. La transformation inverse étant effectuée bien évidemment avec la matrice inverse que nous

avons déjà exposée plus haut.

R2. Nous utilisons en optique relativises le quadrivecteur , où est la pulsation de

l'onde et le vecteur d'onde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire ou Optique Ondulatoire). Ce

quadrivecteur est l'équivalent pour une onde électromagnétique du quadrivecteur pour

une particule, multiplié par la constant de Planck . En effet, la dualité onde-

corpusccule (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) attribue à une onde une énergie :

(49.220)

et une quantité de mouvement dont la norme est :

(49.221)

RELATION D'EINSTEIN

Suivant le principe de relativité, nous souhaitons que la relation entre la quantité de mouvement

et l'énergie d'une onde électromagnétique s'écrive de la même manière pour deux observateurs

d'inertie en translation l'un par rapport à l'autre:

Si O écrit :

(49.222)

alors O' doit pouvoir écrire :

(49.223)

Reprenons la première relation ci-dessus et mettons-la au carré sans oublier que le photon à

une masse nulle . Alors :

(49.224)

et comme :

(49.225)

Étant donnée connue la relation de Planck (définie en thermodynamique) :

nous sommes amenés à écrire la fameuse "relation d'Einstein" que nous retrouverons très

souvent en physique quantique ainsi qu'en thermodynamique :

(49.226)

FORCE RELATIVISTE

Suivant le principe de la relativité, nous voulons que la relation entre la force et la quantité de

mouvement s'écrive de la même manière par deux observateurs d'inertie en translation l'un par

rapport à l'autre:

Ainsi, si O écrit :

(49.227)

O' doit pouvoir écrire :

(49.228)

La relation entre est assez compliquée dans le cas général. Nous nous limiterons ici au

cas particulier où un corps est momentanément immobile dans O' et où donc l'observateur O'

ne tiendra compte que de la force qu'il applique. Il l'appellera par ailleurs "force propre", car

il n'a pas à se préoccuper d'autres forces (comme une force centrifuge, par exemple).

Il faut substituer p' et t' par p et t dans :

(49.229)

Puisque :

(49.230)

nous aurons :

(49.231)

Nous avons par ailleurs vu que :

(49.232)

Il reste donc :

(49.233)

La composante de la force est donc invariable dans la direction du déplacement.

Pour les directions y, z perpendiculaires au déplacement:

et (49.234)

En résumé:

(49.235)

Cependant, pour passer d'un référentiel à un autre, il vaut mieux utiliser le "quadrivecteur

force" défini comme la dérivée du quadrivecteur impulsion par rapport au temps propre :

(49.236)

Effectivement, rappelons que :

(49.237)

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