Notes sur la quatrième équation de Maxwell, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur la quatrième équation de Maxwell, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur la quatrième équation de Maxwell. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la quatrième équation de Maxwell: la plus importante, les monopôles magnétiques, l'équation de conservation de la ...
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QUATRIÈME ÉQUATION DE MAXWELL

La 4ème équation de Maxwell est la plus importante. Elle est une généralisation de la loi

d'Ampère qui a déjà été démontrée dans le chapitre de Magnétostatique et pour laquelle nous

avions obtenu (il est très facile de vérifier que cette relation est également valable pour

l'expression relativiste du champ magnétique) :

(37.29)

La troisième équation de Maxwell nous dit que la variation d'un champ magnétique donne lieu à

un champ électrique nous pouvons donc supposer que la réciproque est vraie.

Un endroit typique où l'on peut observer une variation d'un champ électrique est par exemple le

condensateur.

Nous savons que :

(37.30)

et que le champ électrique entre deux plans parallèles, de surface S, portant des

charges , uniformément est donné par (cf. chapitre d'Électrostatique):

(37.31)

Ce résultat est indépendant de la distance d entre les plans. La deuxième équation de Maxwell

donne:

(37.32)

La capacité d'un condensateur étant définie par (cf. chapitre d'Électrostatique) :

(37.33)

nous avions obtenu dans le cas particulier d'un condensateur plan et parallèle que la capacité

vaut :

(37.34)

Comme nous savons que :

(37.35)

rien ne nous empêche d'écrire que:

(37.36)

Nous nommons "courant de déplacement". En exprimant l'expression ci-dessus en utilisant

la densité superficielle de courant, il vient :

(37.37)

Le courant de déplacement engendre un champ magnétique calculable au moyen de la loi

d'Ampère:

(37.38)

Dans tout phénomène où nous observons un déplacement de charge, nous pouvons supposer

qu'il y a création d'un courant de déplacement qui se superpose au courant de conduction à

cause des effets capacitifs dans la matière. Nous écrivons dès lors:

(37.39)

où nous avons (rappel) :

et (37.40)

D'autre part, le théorème de Stokes fournit que (à nouveau, il est facile de vérifier que cette

relation est aussi juste pour l'expression relativiste du champ magnétique) :

(37.41)

d'où :

(37.42)

et nous en ressortons finalement que:

(37.43)

Ceci est la "quatrième équation de Maxwell" ou "équation de Maxwell-Ampère".

Explication : La quatrième et dernière équation de Maxwell associe la création d'un champ

magnétique à toute variation d'un champ électrique ou à la présence d'un courant électrique.

Remarque: Il est évident que cette formulation est aussi relativiste.

Résumé :

Nous avons donc les quatre équations de Maxwell suivantes appelées "formes locales des

équations de Maxwell" (lorsque les intégrales ne sont pas indiquées) :

(37.44)

Dans le cas où , les physiciens pour différencier le fait que qu'ils ne travaillent pas

dans la vide mais dans la matière écrivent les équations locales de Maxwell sous la forme

suivante :

(37.45)

où est (rappel) appelé "champ de déplacement" ou encore "induction électrique" et

(rappel) "excitation magnétique".

Remarque: Attention! est une réaction du vide au champ . Cela s'explique par la constante

de permittivité du vide mise dans l'intégrale (du moins c'est une façon de voir la chose).

Mais dans le vide et dans le cas où nous considérons une absence de charges, nous obtenons :

(37.46)

Ce résultat est important car il exprime la propagation possible d'un champ électrique et

magnétique et ce même en l'absence de sources. Nous utiliserons ces équations pour

déterminer les équations d'onde électromagnétiques plus loin.

Remarque: Il est possible d'exprimer les équations de Maxwell sous forme relativiste (la

relativité restreinte) mais .... en réalité, comme nous l'avons déjà fait remarquer, les équations

sont inchangées! En effet, les équations de Maxwell sont déjà relativistes. Ceci n'a rien

d'étonnant car les vecteurs des champs électrique et magnétique, le photon (cf. chapitre de

Physique Quantique Des Champs), se propagent à la vitesse de la lumière. A cette vitesse, la

relativité est reine et une théorie correcte ne pouvait être que relativiste. On peut toutefois

exprimer les équations à l'aide des notations mathématiques tensorielle (voir plus loin notre

démonstration du tenseur du champ électromagnétique). Sous cette forme les équations

deviennent incroyablement simples et compactes (une seule équation extrêmement courte).

Formulées de cette manière, les champs électriques et magnétiques s'écrivent comme un champ

unique appelé bien évidemment "champ électromagnétique". C'est un champ tensoriel comme

nous le verrons plus loin.

MONOPÔLES MAGNÉTIQUES

Remarquons qu'en optant pour le système de mesure naturel où , nous avons alors pour

les équations de Maxwell dans le vide :

(37.47)

puisque comme nous le démontrerons plus loin, dans le vide :

(37.48)

Alors la transformation :

(37.49)

amène la seconde paire d'équations précédentes en la première ! Cette symétrie des équations

de Maxwell est appelée "dualité" et c'est un indice vers lequel le champ électrique et

magnétique ne sont que les parties unifiées d'un tout que nous appellerons le "champ

électromagnétique".

De plus, si nous introduisons le champ complexe suivant :

(37.50)

la dualité (en prenant la partie réelle seulement), s'écrit alors :

(37.51)

la paire d'équations de Maxwell indiquée précédemment se réduit alors à (nous utilisons la

propriété de linéarité de produit vectoriel) plus qu'une seule paire d'équation dont il ne faut pas

oublier de prendre la partie réelle :

(37.52)

Cependant, cette symétrie ne s'étend pas aux équations de Maxwell avec sources exprimées

dans le système naturel par :

(37.53)

car cela se traduirait au mieux (n'oubliez pas de prendre la partie réelle pour le champ

intéressé) :

(37.54)

mais une fois sur deux cela ne marche pas (fait la substitution de vous verrez que vous

obtenez toujours une des équations sur la paire qui est conforme l'autre pas). L'astuce consiste

alors à séparer les deux densités en leur partie imaginaire et réelles respectives :

(37.55)

Nous obtenons alors (toujours sans oublier de prendre les parties réelles) :

(37.56)

il suffit alors de poser . Ces équations sont certes charmantes mais leur

généralisation n'apporte rien de nouveau cependant car aucune charge magnétique (exprimée

par ) - appelée "monopôle magnétique" - ont été observées à ce jour. Dans le cadre

expérimental, nous disons alors que sont réels tel que nous ayons bien .

ÉQUATION DE CONSERVATION DE LA CHARGE

Nous avons donc démontré les quatre équations de Maxwell qui sont les fondements de

l'électrodynamique classique.

Les équations de Maxwell peuvent être divisées en deux groupes:

- des "équations sans source" :

et (37.57)

- des "équations avec sources" (dans le vide) :

et (37.58)

Dérivant la première équation avec sources par rapport au temps:

(37.59)

et prenant la divergence de la seconde, nous obtenons :

(37.60)

en simplifiant un peu :

(37.61)

or, et donc:

(37.62)

Après simplification nous obtenons :

(37.63)

qui est appelée "équation de conservation de la charge" ou "équation de continuité".

Elle s'interprète comme: entre deux instant voisins , la variation dQ de la charge contenue

dans une surface fermée délimitant un système ne peut être attribuée exclusivement qu'à un

échange de charges avec l'extérieur.

Cette équation est très importante, car elle implique lors de l'étude de la relativité restreinte,

que la charge est une quantité invariante par translation.

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