Notes sur la question de la démographie (dynamique de la population) - 1° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 January 2014

Notes sur la question de la démographie (dynamique de la population) - 1° partie, Notes de Management

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Notes de gestion sur la question de la démographie (dynamique de la population) - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: tables de mortalité et natalité (fonction biométriques), les informations néc...
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Einstein, à la fin de sa vie, avait coutume d'évoquer les trois explosions qui allaient sous peu

menacer l'humanité: l'explosion des bombes nucléaires, l'explosion de nos savoirs, l'explosion

de l'effectif des hommes. Le rôle des scientifiques à ce niveau n'est pas seulement d'améliorer

leur savoir, mais de la partager et surtout de diffuser la conscience qu'ils ont acquise des

conséquences qu'ils savent discerner. Einstein avait à coeur de jouer ce rôle. Au-delà des

péripéties immédiates, il savait voir les évolutions à long terme, Par ces évolutions, celle du

nombre des hommes lui apparaissait à l'évidence comme grosse des plus grands dangers.

Aujourd'hui, en début de ces années 2000, nous pouvons constater sa perspicacité. L'humanité

est réellement prise à la gorge par l'accroissement de son effectif ou de son maintient actuel

sans la forcer à la baisse.

Pour introduire les mathématiques sociales, il nous faut d'abord déterminer les caractéristiques

qui décrivent la dynamique du nombre d'individus avant de formaliser les propriétés uniques

qui les caractérisent.

TABLES DE MORTALITÉ ET NATALITÉ (FONCTION BIOMÉTRIQUES)

Nul ne sait ni le jour ni l'heure de sa mort. Cette évidence individuelle n'est plus pertinente si

nous nous intéressons non à telle personne, mais à une collectivité assez nombreuse. Alors

jouent les compensations entre ceux qui succombent à des accidents prématurées et ceux qui

échappent quasi miraculeusement aux pires dangers. Nous pouvons alors décrire la façon dont

est payé globalement le tribut à la mort en considérant un grand nombre d'enfants nés la même

année et en précisant, grâce aux données de l'état civil, comment leur effectif diminue peu à

peu pour un jour s'annuler.

Un tel ensemble de conscrits est appelé par les démographes une "cohorte". Considérons donc

la cohorte des Français mâles nés en 1900. Chaque année nous pouvons, en regroupant les

indications de l'état civil, calculer le nombre de ceux qui sont décédés dans la cohorte.

Représentons par le quotient du nombre des décès entre les anniversaires a et a+1 par

l'effectif initial de la cohorte.

Remarque: Nous allons dans ce qui suit définir les bases des probabilités nécessaires au calcul

actuariel. En effet, les mathématiques actuarielles réunissent le calcul financier et le calcul des

probabilités. Le paiement d'un capital n'est plus certain et dépend par exemple de la survie d'une

personne.

La suite des ces nombres contient la totalité de l'information nécessaire pour étudier la

mortalité de cette cohorte.

Nous pouvons en déduire la proportion d'entre eux survivant à l'âge a:

(1)

Nous pouvons également caractériser l'intensité de la mortalité à chaque âge en divisant le

nombre des décès entre les âges a et a+1 par le nombre de survivants. Ce nombre est alors

appelée le "quotient de mortalité":

(2)

La liste âge par âge de ces trois paramètres d, S, et q est la "table de mortalité" de la cohorte

étudiée. Le tableau ci-dessous en donne le résumé pour les âges multiples de 5.

Âge

a

Survivants

Décès de l'âge a à a+5

Probabilité des décès

0 1 0.228 0.228

5 0.772 0.13 0.017

10 0.759 0.9 0.012

15 0.750 0.23 0.031

20 0.727 0.23 0.032

25 0.704 0.20 0.028

30 0.684 0.21 0.031

35 0.663 0.25 0.038

40 0.638 0.29 0.045

45 0.609 0.26 0.043

50 0.583 0.36 0.062

55 0.547 0.47 0.086

60 0.500 0.62 0.124

65 0.438 0.78 0.178

70 0.360

Tableau: 1 - Table de mortalité

Remarque: Suive une génération réelle d'individus tout au long de son existence ou sur une

période de temps déterminée est appelée"analyse longitudinale" par contraste avec "l'analyse

transervsale", qui consiste à étudier les caractéristiques d'une population à un moment donné.. Le

tableau ci-dessus est donc un exemple d'analyse longitudinale.

Choisissons au hasard dans ce tableau le nom d'un enfant inconnu dans la liste des naissances

de l'année 1900. La grande question lors de cette naissance était: combien d'années vivra-t-il?

Aujourd'hui, nous sommes en mesure de répondre rétroactivement à cette question, tout au

moins en évoquant des probabilités, car nous connaissons la table de mortalité de cette

cohorte.

Si la seule information dont nous disposons aujourd'hui à propose de cet enfant est le fait qu'il

est né en 1900, nous pouvons déclarer que la probabilité qu'il ait été encore vivant à l'âge de 5

ans est égale à 0.772, à l'âge de 50 ans de 0.583... Autrement dit que la probabilité pour qu'il

soit mort avant 5 ans est égale à 0.228.

Si nous désignons aujourd'hui un individu inconnu sur la liste de ceux qui ont été incorporés au

cours de l'année 1920 à l'âge de 20 ans, nous pouvons de même calculer les probabilités des

diverses durées de sa vie, mais nous avons une information supplémentaire: il était encore

vivant à 20 ans, il a évité les risques de mort avant cet âge. La probabilité qu'il atteigne alors

l'âge de 50 ans est devenue:

(3)

Donc la probabilité pour une personne d'âge a d'être en vie à l'âge a+1 est égal à:

(4)

La probabilité pour une personne d'âge a de décéder entre l'âge a et a+n est logiquement

donnée par:

(5)

Ainsi à chaque âge nous pouvons donner la loi de la variable "durée encore à vivre". Cette loi

peut être résumée en indiquant son espérance (cf. chapitre de Statistiques). Un calcul immédiat

permet d'en donner la valeur à chaque âge en fonction de la table de mortalité.

Ce résultat peut être passionnant pour un historien, mais il donner une réponse à une question

posée il y a longtemps et depuis oubliée. Ce qui nous intéresse est le présent. Cet enfant qui

vient de naître, quelle est son espérance de vie? Pour répondre, il faudrait connaître la table de

mortalité de sa génération, or le don de prémonition n'existe pas. L'attitude probabiliste permet

de contourner cette difficulté à condition de bien préciser les hypothèses sous-jacentes.

Ainsi, pour répondre à la question: quelle est l'espérance de vie des nouveaux nés de 1990,

nous faisons alors l'hypothèse, tout à fait gratuite, qu'ils rencontreront à chaque âge, à l'avenir,

les conditions qu'ont rencontrées en 1990 les individus de ces âges: en l'an 2000 ils subiront la

même mortalité que celle subie en 1990 par ceux qui sont nés en 1980. Bien sûr, personne

n'imagine que la réalité sera conforme à cette hypothèse, mais le calcul qu'elle permet fournit

une image synthétique des conditions actuelles de la lutte contre la mort.

C'est cette hypothèse qui fait que l'espérance de vie rajeunit parfois les vieux (leur espérance de

vie ayant tendance à augmenter au fur et à mesure qu'ils deviennent plus âgés grâce aux

progrès de la science...).

Prenons pour le calcul de l'espérance de vie, la table de mortalité pour les hommes en Suisse en

1983-1993:

Âge

n

Survivants

Espérance de

vie

E(a)

Âge

n

Survivants

Espérance de

vie

E(a)

0 1 73.68823 55 0.90224 22.81093

1 0.99246 73.24806 56 0.89581 21.97466

2 0.99183 72.29459 57 0.88875 21.14922

3 0.99148 71.32011 58 0.88099 20.33551

4 0.99117 70.34241 59 0.87247 19.53409

5 0.9909 69.36158 60 0.86312 18.7457

6 0.99066 68.37838 61 0.85288 17.97077

7 0.99044 67.39357 62 0.84169 17.20969

8 0.99022 66.40855 63 0.82948 16.46301

9 0.99001 65.42263 64 0.81618 15.73128

10 0.98971 64.44246 65 0.80174 15.01462

11 0.9896 63.44963 66 0.78609 14.31354

12 0.98938 62.46373 67 0.76918 13.62821

13 0.98915 61.47826 68 0.75096 12.95887

14 0.98889 60.49442 69 0.73138 12.30579

15 0.9886 59.51217 70 0.7104 11.66921

16 0.98823 58.53445 71 0.68798 11.04949

17 0.9877 57.56586 72 0.66409 10.44699

18 0.98692 56.61136 73 0.63873 9.861773

19 0.98581 55.6751 74 0.6119 9.294182

20 0.98439 54.75541 75 0.58362 8.744543

21 0.98285 53.84121 76 0.55393 8.21324

22 0.98131 52.9257 77 0.52291 7.700465

23 0.97975 52.00997 78 0.49066 7.206599

24 0.97815 51.09505 79 0.45733 6.731813

25 0.97653 50.17981 80 0.42309 6.276608

26 0.9749 49.26371 81 0.38819 5.840903

27 0.97328 48.34571 82 0.35288 5.425357

28 0.97166 47.42631 83 0.31748 5.030301

29 0.97007 46.50405 84 0.28234 4.656372

30 0.9685 45.57943 85 0.24785 4.304337

31 0.96694 44.65297 86 0.21446 3.974494

32 0.96541 43.72373 87 0.18263 3.667196

33 0.96388 42.79314 88 0.15281 3.382828

34 0.96236 41.86073 89 0.12546 3.120277

35 0.96082 40.92782 90 0.10091 2.879397

36 0.95927 39.99395 91 0.07942 2.658524

37 0.95768 39.06035 92 0.06111 2.455081

38 0.95604 38.12736 93 0.04593 2.266492

39 0.95434 37.19528 94 0.03373 2.086273

40 0.95257 36.26439 95 0.02414 1.915079

41 0.95071 35.33534 96 0.0168 1.751786

42 0.94874 34.40871 97 0.01134 1.595238

43 0.94665 33.48468 98 0.00739 1.447903

44 0.94441 32.5641 99 0.00464 1.306034

45 0.94201 31.64706 100 0.00279 1.172043

46 0.93942 30.73431 101 0.0016 1.04375

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