Notes sur la recherche des racines - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la recherche des racines - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la recherche des racines - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la démonstration d'Evariste Galois, la méthode des parties proportionnelles, la méthode de la bissection, l...
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RECHERCHE DES RACINES

Bien des équations rencontrées en pratique ou en théorie ne peuvent pas être résolues

exactement par des méthodes formelles ou analytiques. En conséquence, seule une solution

numérique approchée peut être obtenue en un nombre fini d'opération.

Evariste Galois a démontré, en particulier, que l'équation ne possède pas de solution

algébrique (sauf accident...) si est un polynôme de degré supérieur à 4.

Il existe un grand nombre d'algorithmes permettant de calculer les racines de

l'équation avec une précision théorique arbitraire. Nous n'en verrons que les

principaux. Attention, la mise en oeuvre de tels algorithmes nécessite toujours une

connaissance approximative de la valeur cherchée et celle du comportement de la fonction près

de la racine. Un tableau des valeurs de la fonction et sa représentation graphique permettent

souvent d'acquérir ces connaissances préliminaires.

Si l'équation à résoudre est mise sous la forme , nous traçons les courbes

représentant g et h. Les racines de l'équation étant données par les abscisses des

points d'intersection des deux courbes.

Remarque: Avant de résoudre numériquement l'équation , il faut vérifier que la

fonction f choisie. Il faut par exemple, que la fonction f soit strictement monotone au voisinage

de la racine , lorsque la méthode de Newton est appliquée. Il est souvent utile, voire

indispensable, de déterminer un intervalle [a,b] tel que:

- f est continue sur ou

-

- unique,

MÉTHODE DES PARTIES PROPORTIONNELLES

La mise en oeuvre, sur calculatrice, de cette méthode est particulièrement simple. Les

conditions à vérifier étant seulement:

- f est continue

- f est monotones dans un voisinage de la racine

Dans un petit intervalle, nous pouvons remplacer une courbe par un segment de droite. Il y a

plusieurs situations possible mais en voici une particulière généralisable facilement à n'importe

quoi:

(57.206)

Sur cette figure nous tirons à l'aide des théorèmes de Thalès (cf. chapitre de Géométrie

Euclidienne):

(57.207)

d'où :

(57.208)

Si , nous pouvons négliger f(a) au dénominateur et il vient :

(57.209)

L'algorithme consiste donc à réaliser les étapes suivantes :

1. Choisir a et b, calculer f(a) et f(b)

2. Déterminer . Si est assez petit, nous arrêtons le calcul et

affichons x et f(x)

3. Sinon nous procédons comme suit:

- Nous remplaçons b par a et f(b) par f(a)

- nous remplaçons a par x et f(a) par f(x)

- nous retournons au point (2)

MÉTHODE DE LA BISSECTION

La condition préalable à satisfaire pour cette méthode est de trouver un intervalle tel que:

1. f(x) est continue sur [a,b]

2.

Il faut encore fixer qui est définit comme la borne supérieure de l'erreur admissible.

La méthode consiste à appliquer successivement les 4 étapes suivantes:

1. Calcul de

2. Evaluation de f(x)

3. Si alors le travail est terminé, il faut afficher x et f(x)

4. Sinon on procède comme suit:

- on remplace a par x si

- on remplace b par x si ou

- on retourne en (1)

L'étape (3) impose la condition pour l'arrêt des calculs. Il est parfois préférable de

choisir un autre critère de fin de calcul. Celui-ci impose à la solution calculée d'être confinée

dans un intervalle de longueur contenant . Ce test s'énonce comme suit:

3'. Si , le travail est terminé et est affiché. Il est bien sûr évident

que

MÉTHODE DE LA SÉCANTE (REGULA FALSI)

(57.210)

Les conditions préalables sont les suivantes:

Il faut déterminer un intervalle [a,b] tel que:

1. f(x) est continue sur [a,b]

2.

Si est le point de coordonnées , alors les points sont alignés sur la sécante.

La proportion suivante (Thalès) est donc vraie:

(57.211)

nous en déduisons:

(57.212)

La méthode consiste à appliquer successivement les étapes suivantes:

1. Calcul de

2. Evaluation de

3. Si , le travail est terminé. Il faut afficher

4. Sinon nous procédons comme suit:

- nous remplaçons a par si

- nous remplaçons b par si ou

- nous retournons en (1)

La condition (3) peut être remplacée par la condition:

3'. Si , alors le travail est terminé et nous affichons

Remarque: Si l'intervalle [a,b] contient plusieurs racines, cette méthode converge vers l'une

d'entre elles. Toutes les autres sont malheureusement perdues.

MÉTHODE DE NEWTON

Considérons la figure suivante:

(57.213)

Si est une approximation de la racine , nous remarquons que en est une

meilleure. est l'intersection de la tangente à la courbe en et de l'axe des

abscisses. est encore une meilleure approximation de , est obtenu de la même manière

que mais à partir de .

Le méthode de Newton consiste en la formalisation de cette constatation géométrique.

Pour utiliser cette technique, rappelons que si nous prenons une fonction f qui est dérivable

en , alors nous pouvons la réécrire sous la forme:

(57.214)

où est la dérivée de f en et est une fonction qui tend vers 0

comme pour lorsque x tend vers (c'est un terme correctif qui sous-tend la

suite des termes du développement de Taylor).

En appliquant ce résultat à la résolution de , nous obtenons:

(57.215)

La fonction empêche la résolution de cette équation par rapport à . En négligeant

le terme , l'équation se réécrit:

(57.216)

et se résout aisément par rapport à :

(57.217)

Mais ne satisfait pas, en générale, l'égalité . Mais comme nous l'avons déjà

souligné, est plus petit que si la fonction f satisfait à certaines conditions.

La méthode de Newton consiste à remplacer l'équation:

(57.218)

par:

(57.219)

et à résoudre itérativement cette équation.

Les conditions suivantes sont suffisantes pour assurer la convergence de la méthode:

Dans un intervalle [a,b] comprenant et il faut que:

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