Notes sur  la recherche des racines - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la recherche des racines - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la recherche des racines - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction, la convergence de la méthode, la méthode des rectangles, la méthode des trapèzes.
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1. La fonction soit deux fois dérivable

2. La dérivée f ' ne s'annule pas (monotonie)

3. La deuxième dérivée soit continue et ne s'annule pas (pas de point d'inflexion)

Remarque: Il suffit souvent de vérifier les conditions (1) et (2) pour que le processus soit

convergent.

La condition (2) est évidente, en effet si alors l'itération peut conduire à une erreur de

calcul (singularité).

La condition (3) est moins évidente, mais le graphique suivant illustre un cas de non-

convergence. Dans ce cas, le processus à une boucle calculant alternativement et .

(57.220)

Si la fonction f est donnée analytiquement, sa dérivée peut-être déterminée analytiquement.

Mais dans bien des cas, il est utile, voire indispensable de remplacer par le quotient

différentiel:

(57.221)

où h doit être choisi suffisamment petit pour que la différence:

(57.222)

soit elle aussi suffisamment petite.

L'itération s'écrit alors:

(57.223)

Convergence de la méthode:

Si la méthode de résolution est convergente, l'écart entre et diminue à chaque itération.

Ceci est assuré, par exemple, si l'intervalle [a,b] contenant , voit sa longueur diminuer à

chaque étape. La méthode de Newton est intéressante car la convergence est quadratique:

(57.224)

alors que la convergence des autres méthodes est linéaire:

(57.225)

Considérons, par exemple, la méthode de la bissection vue précédemment. A chaque itération

la longueur de l'intervalle [a,b] diminue de moitié. Ceci nous assure que l'écart est

réduit de moitié à chaque étape du calcul:

(57.226)

Pour démontrer la convergence quadratique de la méthode de Newton, il faut utiliser les

développements limités de f et f ' au voisinage de :

(57.227)

Mais:

(57.228)

donc:

(57.229)

En soustrayant à gauche et à droite de l'égalité et en mettant les deux termes du seconde

membre au même dénominateur, il vient:

(57.230)

et dès que est assez petit, le dénominateur peut être simplifié.

(57.231)

ce qui montre bien que la convergence est quadratique.

AIRES ET SOMMES DE RIEMANN

Considérons la figure suivante :

(57.232)

Nous désirons calculer l'aire comprise entre l'axe x, la courbe de f et les droites

d'équations et . Nous supposons dans ce cas que la fonction f est à valeurs

positives:

(57.233)

Ce problème, dans sa généralité, est difficile voire impossible à résoudre analytiquement. Voici

donc quelques méthodes numériques permettant le calcul approché de cette aire (ces méthodes

sont utilisées parfois dans les entreprises par les employés qui n'ont que des tableurs de type

MS Excel ou OpenOffice Calc pour calculer des intégrales).

MÉTHODE DES RECTANGLES

Nous subdivisons l'intervalle en n sous-intervalles dont les bornes sont . Les longueurs

de ces sous intervalles sont . Nous construisons les rectangles dont les côtés

sont et .

(57.234)

L'aire de ces rectangles vaut:

(57.235)

Si les sont suffisamment petits, est une bonne approximation de l'aire cherchée. Nous

pouvons recommencer cet exercice en choisissant et comme côtés des rectangles.

Nous obtenons alors:

(57.236)

La figure correspondante est la suivante:

(57.237)

Encore une fois, l'aire de ces rectangles approche l'aire cherchée. Afin de simplifier la

programmation, il est utile de choisir des intervalles de longueur identique:

(57.238)

Si nous avons n rectangles, h vaut alors . Les aires et deviennent:

(57.239)

MÉTHODE DES TRAPÈZES

Afin d'augmenter la précision des calculs, il est possible de calculer:

(57.240)

Dans le cas où tous les intervalles sont de longueur égale, vaut:

(57.241)

Il existe une foule d'autres méthodes permettant la résolution de ce problème (dont la méthode

de Monte-Carlo que nous verrons plus loin).

Dans le cas où la fonction f n'est pas à valeurs positives, nous ne parlons plus d'aire mais de

"somme de Riemann". Les sommes à calculer sont alors:

(57.242)

et:

(57.243)

Tous les calculs doivent êtres conduits de la même manière, mais les résultats peuvent être

positifs, négatifs ou nuls.

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