Notes sur la relativité restreinte - 2° partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez9 January 2014

Notes sur la relativité restreinte - 2° partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur la relativité restreinte - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: LES TRANSFORMATIONS DE LORENTZ
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que l'objet en question. Le temps mesuré dans ce référentiel privilégié est minimal et est appelé

le "temps propre". Similairement, la dimension de l'objet y est maximale, c'est sa "dimension

propre", et sa masse y est minimale, c'est sa "masse au repos".

TRANSFORMATIONS DE LORENTZ

Pour que soit possible l'invariance de c (postulat d'invariance), nous devons admettre que le

temps ne s'écoule pas de la même manière pour l'observateur immobile O que pour

l'observateur O' dans un référentiel en translation uniforme en x (soit un référentiel inertiel) à

vitesse relative (le terme "relative" est important!) v (attention ! la vitesse relative entre les

référentiels est souvent notée u dans la littérature).

Remarque: Ce cas particulier de dispositions des référentiels dans lesquels les axes d'espaces

sont parallèles amènent à ce que nous appelons les "transformations de Lorentz pures" ou

"transformations de Lorentz spéciales" et le déplacement relatif selon un axe particulier est

souvent appelée un "boost".

Pour étudier le comportement des lois physique, nous devons alors nous munir de deux

horloges qui donnent t ett' (le référentiel qui contient son horloge/instrument de mesure est

appelé "référentiel propre")

Mettons en place l'expérience imaginaire suivante :

Lorsque les observateurs O et O' sont superposés, nous posons t=0 et t'=0 et nous émettons

un flash lumineux dans la direction d'un point A repéré par r et r' :

(49.9)

Il est évident que lorsque le flash arrivera en A, l'observateur O mesurera un temps t et O' un

temps t'.

L'observateur O conclut dès lors :

(49.10)

L'observateur O' lui, conclut :

(49.11)

Étant donne que le déplacement de O' ne se fait qu'en x, nous avons pour les deux

observateurs :

(49.12)

De plus, si la trajectoire du rayon lumineux se confond dans Ox, nous avons :

(49.13)

Ce qui nous donne dès lors et d'où :

et (49.14)

Ce deux relations sont donc égales (nulles) en tout x, x', t, t' entre les deux observateurs. Ce

sont les premiers "invariants relativistes" (valeurs égales quelque soit le référentiel) que

retrouvons sous une forme plus généralisée lorsque qu'appliquée à tout l'espace:

(49.15)

Il convient maintenant de se rappeler, que dans le modèle classique (relativité galiléenne), nous

aurions écrit que la position du point A pour l'observateur O à partir des informations données

par O' serait et réciproquement (cf. chapitre de Mécanique Classique) tel que :

(49.16)

Dans le modèle relativiste, nous devons par contre admettre que le temps t qui est en relation

avec x n'est pas le même que t' qui est en relation avec x' parce que le principe de relativité

oblige (sinon quoi il serait donc impossible d'expliquer l'invariance de la vitesse de la lumière) !

Nous sommes alors amenés à poser la relation précédente sous la forme suivante :

(49.17)

où serait une valeur numérique à déterminer.

De plus, si , nous devons aussi pouvoir exprimer t' comme fonction de t et de x sous la

même similaire :

(49.18)

Résumons la forme du problème :

(49.19)

à déterminer . Et ensuite :

(49.20)

à déterminer : a,b.

Nous cherchons alors à déterminer la relation permettant de connaître la valeur des

coefficients , a,b qui satisfont simultanément:

et (49.21)

Donc, avec les trois dernières relations, nous obtenons :

(49.22)

Distribuons :

(49.23)

Pour satisfaire la relation:

(49.24)

Il faut que :

(1)

(2)

(3)

(49.25)

Il est facile de résoudre (2) :

(49.26)

Nous introduisons alors ce résultat dans (1) et (3) et nous arrivons à :

(1')

(2')

(49.27)

Si nous divisons (1') par (2'), nous obtenons :

(49.28)

et en introduisant ce dernier résultat dans la relation , nous obtenons le résultat

remarquable suivant:

(49.29)

que nous notons souvent :

(49.30)

et que nous appelons "facteur de Michelson-Morley" avec :

(49.31)

En introduisant également :

(49.32)

dans :

(49.33)

nous obtenons :

(49.34)

Posons maintenant (afin d'être conforme aux notations d'usage) :

(49.35)

avec donc le paramètre sans dimensions et toujours inférieur ou égal à l'unité:

(49.36)

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