Notes sur la solution de Schwarschild - 1° partie, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur la solution de Schwarschild - 1° partie, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur la solution de Schwarschild - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La "métrique de Schwarzschild", les "coordonnées de Schwarzschild", l'équation.
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La "métrique de Schwarzschild" (1916) est une solution de l'équation d'Einstein dans le cas d'un

champ gravitationnel isotrope. Elle fournit les trois preuves principales de la Relativité Générale:

le décalage des horloges, la déviation de la lumière par le Soleil et l'avance du périhélie de

Mercure. Ces trois preuves sont très importantes car l'équation d'Einstein n'était pas démontrée

expérimentalement à l'époque.

Pour introduire cette métrique imaginons une source (par exemple le Soleil) qui produit un

champ de gravitation à l'aide de sa masse M. Nous cherchons, pour comparer par rapport à

l'expérience, les solutions de l'équation d'Einstein (en d'autres termes : la métrique) en dehors

de la source (du Soleil donc...) de masse M.

En d'autres termes, cela revient à avoir dans la région de l'espace qui nous intéresse (en

considérant qu'il n'y que l'astre en question et rien d'autre autour n'y même l'énergie/masse

propre au champ gravitationnel) la propriété suivante :

(50.221)

Donc l'équation d'Einstein des champs :

(50.222)

devient alors :

(50.223)

Mais nous avions montré plus haut que cette dernière relation peut aussi s'écrire l'aide de la

définition du scalaire de :

(50.224)

et comme il est peu vraisemblable que la parenthèse soit nulle il reste :

(50.225)

Nous devons donc trouver la métrique qui satisfait cette relation. Comme il y en à plusieurs

intéressons-nous à un cas particulièrement élégant avec comme l'aime les physiciens... plein de

symétries.

L'idée est donc de trouver une métrique si possible indépendante du temps (donc le champ

gravitationnel aussi) et... à symétrie sphérique (l'astre étant lui-même de cette forme), prenant

en compte la masse de l'astre central (c'est l'objectif majeur!) et telle qu'assez loin de la source

(...) ou lorsque la masse est nulle nous retrouvions la métrique classique connue vue plus haut :

(50.226)

Mais ceci n'est pas totalement exact.

Effectivement, nous travaillons dans l'espace-temps. Or, nous avons vu que l'équation de la

métrique curviligne est dans un espace temps plat par :

(50.227)

en passant en coordonnées sphériques nous avons alors :

(50.228)

Et c'est sur cette équation de la métrique que nous devons retomber lorsque nous sommes

éloignés de la source ou que la masse de celle-ci est extrêmement faible (la métrique de

Schwarzschild doit donc être asymptotiquement plate).

Donc mettons nous à la tâche. D'abord nous partons de ce que nous savons (vaut mieux!).

C'est-à-dire que :

(50.229)

et en coordonnées sphérique avec le temps nous avons pour composantes . En tout

rigueur, nous notons:

(50.230)

les "coordonnées de Schwarzschild".

Donc il vient un total de 16 termes dont outre les diagonales au nombre (4 termes) les autres

s'additionnent (6 termes) soit finalement 10 termes qui sont les suivantes:

(50.231)

où A, B, C, ...sont des coefficients à déterminer.

Avant de s'attaquer à ce travail, nous savons que selon une de nos contraintes de départ,

lorsque la masse est faible ou que nous sommes éloignés de la source, nous devons retomber

sur :

(50.232)

dès lors intuitivement nous pouvons déjà écrire :

(50.233)

ce qui admettons-le... est un net progrès...!

Si comme nous nous le sommes imposés au début l'équation de la métrique est indépendante

du temps. Nous pouvons par symétrie du temps (hypothèse...) faire le changement de variable

suivante sans que cela change quoi que ce soit dans notre . Or, nous nous

rendons tout de suit compte que cela ne sera pas le cas. Immédiatement, pour que cela soit

satisfait il faut :

(50.234)

ce qui nous amène (c'est déjà mieux!) à :

(50.235)

Maintenant si le système est bien sphérique. L'équation de la métrique doit être invariante par

la transformation (le contraire se saurait depuis longtemps si ce n'était pas le cas

expérimentalement) et/ou également par la transformation .

Donc pour que cela soit juste, nous voyons immédiatement que dans la relation précédente,

nous devons imposer :

(50.236)

Donc finalement nous n'avons plus que :

(50.237)

où A, B, C, D seront bien évidemment indépendant du temps (le contraire contredirait notre

contrainte initiale) mais peuvent par symétrie de la sphère être dépendant de r tel que :

(50.238)

Maintenant, imaginons-nous sur la sphère (rigoureusement c'est une hyper-sphère mais cela

aide quand même...) à une distance r fixe du centre de la source du champ à un instant

donné t fixé. Nous n'avons alors plus que :

(50.239)

puisque dt est nul (temps fixé) et dr aussi (distance r fixée).

Nous avons par ailleurs enlevé le signe - car nous avons anticipé le fait qu'il va s'éliminer à la

troisième égalité qui va suivre et nous le remettrons ensuite.

Maintenant, imaginons-nous proche du pôle nord de la sphère nous n'avons alors plus

qu'en première approximation:

(50.240)

et à l'équateur :

(50.241)

Par symétrie du champ, un déplacement angulaire infinitésimal en chacun des ces deux zones

particulières doit pourtant être égal. Dès lors, nous ne pouvons que poser :

(50.242)

Dès lors, l'équation de la métrique se réduit à :

(50.243)

Montrons maintenant que nous pouvons choisir un système de coordonnées pour

lequel .

Introduisons pour cela une distance définie par :

(50.244)

d'où :

(50.245)

Il vient dès lors :

(50.246)

d'où :

(50.247)

Ce qui se simplifie encore en :

(50.248)

Mettons le tout au carré et divisons à gauche et à droite par :

(50.249)

d'où :

(50.250)

Dès lors, l'équation de la métrique s'écrit :

(50.251)

C'est donc comme si :

(50.252)

Donc :

(50.253)

Soit :

(50.254)

et le tenseur métrique contravariant correspondant (dont nous allons avoir besoin plus loin):

(50.255)

tel que (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

(50.256)

Maintenant, pour déterminer les coefficients restants (soit A et B) nous allons nous aider de la

relation que doit satisfaire la métrique :

(50.257)

Soit sous forme développée (cf. chapitre de Calcul Tensoriel):

(50.258)

avec bien évidemment (cf. chapitre de Calcul Tensoriel):

(50.259)

C'est dire que l'on a du travail sur la planche... Bon d'abord puisque la métrique est simple les

seules dérivées non nulles sont :

(50.260)

Nous en déduisons simplement les 9 éléments de la connexion (nous pouvons détailler sur

demande...) non nuls :

(50.261)

Maintenant que nous avons ces termes de la connexion il nous faut calculer leur dérivée

conformément aux deux premiers termes de :

(50.262)

il y a alors 10 termes non nuls qui sont :

(50.263)

Nous avons finalement pour chaque composante du tenseur de Ricci :

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