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Notes sur la solution de Schwarschild - 1° partie, Notes de Astronomie

Notes d'astronomie sur la solution de Schwarschild - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La "métrique de Schwarzschild", les "coordonnées de Schwarzschild", l'équation.

Typologie: Notes

2013/2014

Téléchargé le 10/01/2014

Caroline_lez
Caroline_lez 🇫🇷

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Télécharge Notes sur la solution de Schwarschild - 1° partie et plus Notes au format PDF de Astronomie sur Docsity uniquement! La "métrique de Schwarzschild" (1916) est une solution de l'équation d'Einstein dans le cas d'un champ gravitationnel isotrope. Elle fournit les trois preuves principales de la Relativité Générale: le décalage des horloges, la déviation de la lumière par le Soleil et l'avance du périhélie de Mercure. Ces trois preuves sont très importantes car l'équation d'Einstein n'était pas démontrée expérimentalement à l'époque. Pour introduire cette métrique imaginons une source (par exemple le Soleil) qui produit un champ de gravitation à l'aide de sa masse M. Nous cherchons, pour comparer par rapport à l'expérience, les solutions de l'équation d'Einstein (en d'autres termes : la métrique) en dehors de la source (du Soleil donc...) de masse M. En d'autres termes, cela revient à avoir dans la région de l'espace qui nous intéresse (en considérant qu'il n'y que l'astre en question et rien d'autre autour n'y même l'énergie/masse propre au champ gravitationnel) la propriété suivante : (50.221) Donc l'équation d'Einstein des champs : (50.222) devient alors : (50.223) Mais nous avions montré plus haut que cette dernière relation peut aussi s'écrire l'aide de la définition du scalaire de : (50.224) et comme il est peu vraisemblable que la parenthèse soit nulle il reste : (50.225) Nous devons donc trouver la métrique qui satisfait cette relation. Comme il y en à plusieurs intéressons-nous à un cas particulièrement élégant avec comme l'aime les physiciens... plein de symétries. L'idée est donc de trouver une métrique si possible indépendante du temps (donc le champ gravitationnel aussi) et... à symétrie sphérique (l'astre étant lui-même de cette forme), prenant en compte la masse de l'astre central (c'est l'objectif majeur!) et telle qu'assez loin de la source (...) ou lorsque la masse est nulle nous retrouvions la métrique classique connue vue plus haut : (50.226) Mais ceci n'est pas totalement exact. Effectivement, nous travaillons dans l'espace-temps. Or, nous avons vu que l'équation de la métrique curviligne est dans un espace temps plat par : (50.227) en passant en coordonnées sphériques nous avons alors : (50.228) Et c'est sur cette équation de la métrique que nous devons retomber lorsque nous sommes éloignés de la source ou que la masse de celle-ci est extrêmement faible (la métrique de Schwarzschild doit donc être asymptotiquement plate). Donc mettons nous à la tâche. D'abord nous partons de ce que nous savons (vaut mieux!). C'est-à-dire que : (50.229) et en coordonnées sphérique avec le temps nous avons pour composantes . En tout rigueur, nous notons: (50.230) les "coordonnées de Schwarzschild". Donc il vient un total de 16 termes dont outre les diagonales au nombre (4 termes) les autres s'additionnent (6 termes) soit finalement 10 termes qui sont les suivantes: (50.231) où A, B, C, ...sont des coefficients à déterminer. Il vient dès lors : (50.246) d'où : (50.247) Ce qui se simplifie encore en : (50.248) Mettons le tout au carré et divisons à gauche et à droite par : (50.249) d'où : (50.250) Dès lors, l'équation de la métrique s'écrit : (50.251) C'est donc comme si : (50.252) Donc : (50.253) Soit : (50.254) et le tenseur métrique contravariant correspondant (dont nous allons avoir besoin plus loin): (50.255) tel que (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) : (50.256) Maintenant, pour déterminer les coefficients restants (soit A et B) nous allons nous aider de la relation que doit satisfaire la métrique : (50.257) Soit sous forme développée (cf. chapitre de Calcul Tensoriel): (50.258) avec bien évidemment (cf. chapitre de Calcul Tensoriel): (50.259) C'est dire que l'on a du travail sur la planche... Bon d'abord puisque la métrique est simple les seules dérivées non nulles sont : (50.260) Nous en déduisons simplement les 9 éléments de la connexion (nous pouvons détailler sur demande...) non nuls : (50.261) Maintenant que nous avons ces termes de la connexion il nous faut calculer leur dérivée conformément aux deux premiers termes de : (50.262) il y a alors 10 termes non nuls qui sont : (50.263) Nous avons finalement pour chaque composante du tenseur de Ricci :
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