Notes sur la tenseur de Reimann-Christoffel , Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la tenseur de Reimann-Christoffel , Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur la tenseur de Reimann-Christoffel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la tenseur de l'espace Riemannien, la première identité de Bianchi, la tenseur de Ricci, la tenseur d'Einstein...
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TENSEUR DE RIEMANN-CHRISTOFFEL

Rappelons que nous avons démontré plus haut que :

(14.371)

Cette relation exprime sauf erreur de la part du rédacteur de ces lignes.... la dérivée covariante

d'un tenseur d'ordre deux - tel que la métrique - sur un chemin géodésique dans deux

directions parallèles (la deuxième dérivée covariantes permettant de créer la "perpendiculaires

géodésique" entre les deux géodésique infiniment proches de la première dérivée covariante).

Nous appelons un tel déplacement : un "transport parallèle".

En y substituant :

(14.372)

Nous avons alors facilement :

(14.373)

Permutons maintenant les indices j et k dans l'expression précédente pour avoir une

différentielle par rapport à un autre chemin :

(14.374)

En admettant que les composantes vérifient les propriétés classiques , nous

obtenons par soustraction des deux expressions précédentes :

(14.375)

et puisque nous avons démontré que:

(14.376)

Nous avons:

(14.377)

Il reste alors:

(14.378)

Comme le transport parallèle se fait sur des chemins de géodésiques infiniment proches, nous

prenons la limite :

(14.379)

Ce qui soutend que le champ de vitesse est quasi égal en deux points parallèles infiniment

proches.

Il reste alors:

(14.380)

Cette relation exprime le fait que, comme la gravité, la courbure de l'espace-temps cause une

accélération mutuelle entre les géodésiques. De plus, il est facile de constater, que

l'accélération mutuelle entre les géodésiques est nulle si les tenseurs de Riemann-Christoffel

sont nuls (typiquement en coordonnées cartésiennes, in extenso cela signifie pour un espace-

temps plat). C'est exactement ce que nous attendons de la gravité : si nous observons aucune

accélération, la courbure (nous allons de suite définir ce que c'est) est nulle et si la courbure est

nulle, nous n'observons aucune accélération. Morale de l'histoire : la gravité est courbure et la

courbure est gravité !!

Nous voyons que la quantité entre parenthèses est un tenseur d'ordre quatre que nous

noterons sur ce site (car il y a plus traditions dans la manière de le noter...):

(14.381)

et qui résume à lui seul le transport parallèle et le fait que gravité et géométrie de l'espace sont

liés.

Le tenseur est appelé "tenseur de Riemann-Christoffel" ou "tenseur de l'espace

Riemannien". La courbure d'un espace Riemannien peut aussi être caractérisée à l'aide de ce

tenseur.

Si nous multiplions le tenseur par , nous avons alors les données covariantes de ce

tenseur tel que :

(14.382)

et soit les relations suivantes que nous avions démontrées :

(14.383)

Dès lors, il vient :

(14.384)

et remplaçons les quantités par . Nous obtenons alors :

(14.385)

Nous avions aussi démontré que :

(14.386)

D'où :

(14.387)

et comme :

(14.388)

Nous avons :

(14.389)

et nous avions aussi démontré que :

(14.390)

et en les reportant dans l'avant dernière relation, nous obtenons :

(14.391)

Nous avons donc finalement pour l'expression covariante du tenseur de Riemann-Christoffel :

(14.392)

Il convient de remarquer que (c'est trivial par vérification sur la relation précédente) le tenseur

de Riemann-Christoffel est donc antisymétrique :

(14.393)

Enfin, la permutation en bloc des indices ij et rs nous donne, par suite de la symétrie des et

en invertissant leur ordre de dérivation (trivial) :

(14.394)

Effectuons maintenant une permutation circulaire sur les indices j, r, s dans l'expression :

(14.395)

il vient :

(14.396)

et nous avons alors (c'est très simple à contrôler... une simple addition) :

(14.397)

L'identité précédente est appelée "première identité de Bianchi". Par extension, il est trivial que

nous avons aussi (nous changeons les notations des indices afin d'être plus conforme aux

écritures habituelles en relativité générale) :

(14.398)

et par extension :

(14.399)

Rappelons qu'implicitement, cette relation exprime toujours simplement (si l'on peut dire...) le

fait que gravité et géométrie de l'espace sont liées ensembles..

TENSEUR DE RICCI

Avant de voir les conséquences de l'identité de Bianchi, nous avons besoin de définir le "tenseur

de Ricci" :

(14.400)

qui est donc la contraction des premier et troisième indices. D'autres contractions d'autres

indices pourraient aussi être possible mais parce que est antisymétrique

sur et alors la contraction sur ces indices reviennent à avoir .

De manière similaire, nous définissons le "scalaire de Ricci" par la relation :

(14.401)

TENSEUR D'EINSTEIN

Appliquons une contraction à l'identité de Bianchi :

(14.402)

Rappelons que et de même par extension que . Donc finalement ceci

nous amène à écrire de par la propriété des dérivées (produit en somme) :

(14.403)

et donc à obtenir :

(14.404)

En utilisant la propriété d'antisymétrie du tenseur de Riemann-Christoffel, nous écrivons :

(14.405)

Ce qui revient finalement à écrire de par la définition du tenseur de Ricci :

(14.406)

Cette relation est appelée "identité de Bianchi contractée".

Contractons cette relation encore une fois :

(14.407)

Ce qui revient identiquement à écrire en utilisant les propriétés de la sommation d'Einstein (qui

permet librement de changer les indices):

(14.408)

Ce qui équivaut à :

(14.409)

Comme , nous avons :

(14.410)

En montant l'indice par multiplication avec , nous obtenons "l'identité d'Einstein":

(14.411)

Le "tenseur d'Einstein" qui est donc une constante dans un espace Riemannien donné est dès

lors défini par :

(14.412)

et exprime de la façon la plus courte qui soit, le transport parallèle.

Identiquement, nous pouvons obtenir la forme covariante :

(14.413)

Le tenseur est donc construit pour une métrique uniquement Riemannienne (ce qui fait

cependant quand même pas mal d'espaces possibles...), et est automatiquement non divergent

:

(14.414)

Nous retrouverons ce tenseur naturellement en relativité générale lorsqu'en faisant usage du

principe variationnel nous décomposerons l'action en deux termes :

1. l'action de la masse dans le champ gravitationnel

2. l'action du champ gravitationnel en l'absence de masse

En exprimant le tout dans un espace Riemannien nous obtiendrons alors la non moins fameuse

équation d'Einstein des champs (sans plus d'explications dans ce chapitre) :

(14.415)

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