Notes sur la théorie de la décision et des jeux - 1° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 January 2014

Notes sur la théorie de la décision et des jeux - 1° partie, Notes de Management

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Notes de gestion sur la théorie de la décision et des jeux - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le schéma, Définition, Remarques, les représentatives de jeux, la forme extensive d'un jeu, la form...
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La théorie de la décision et des jeux dépasse très largement le cadre étroit des jeux de sociétés,

même si ces derniers ont constitué son premier objet d'étude et lui ont donné son nom dans la

plupart des ouvrages disponibles dans le commerce.

Par ailleurs les deux théories sont très proches l'une de l'autre d'où le fait qu'elle soient très

souvent non différenciées dans la littérature.

Définition:

D1. La "théorie des jeux" est l'étude des modèles de prise de décisions en avenir incertain non

probabilisables.

D2. La "théorie de la décision" (appelée aussi parfois "analyse décisionnelle") est l'étude des

modèles de prise de décisions en avenir incertain probabilisables (objectivement ou

subjectivement).

Chacune des méthodes d'analyse de ces deux théories se fait principalement sous forme

tabulaire (tableau) ou sous la forme d'une arbre vertical ou horizontal.

Voici un schéma assez connu par les coordinateurs de projets qui résume assez bien la

situation globale:

Ces outils ont pour objectif de tenter de formaliser comment décider que telle configuration ou

décision est meilleure qu'une autre? Nous chercherons pour cela à trouver l'optimum de

certains paramètres qui permettent de quantifier la qualité stratégique d'une situation. Il faut

également déterminer quelles conditions conduisent à une configuration qui est jugée

optimale.

La théorie des jeux et de la décision est aujourd'hui assez répandue et utilisée dans les milieux

universitaires, non seulement en économie (finance d'entreprise particulièrement), mais

également par toute une classe d'autres sciences dans lesquelles l'étude des situations de

confits est pertinente : sociologie, biologie, évolution, informatique (jeux vidéos), marketing...

Remarque: Dans le monde de l'industrie les techniques de décisions sont inconnues de la quasi-

totalité des dirigeants dont les choix sont souvent plus qualitatifs, instinctifs que scientifiques...

Nous tenterons, commme toujours sur ce site, de minimiser au mieux le nombre de définitions

et concepts afin de ne pas noyer la rigueur de l'analyse mathématique sous le chaos d'un

vocabulaire inutile et non nécessaire à une telle analyse (et dans le cadre de la théorie de jeux

c'est un peu comme dans la théorie des graphes vraiment le cauchemard!).

Définition: Un "jeu" est une situation où des joueurs sont conduits à faire des choix stratégiques

parmi un certain nombre d'actions possibles, et dans un cadre défini à l'avance qui seront les

"règles du jeu", le résultat de ces choix constituant une "issue du jeu", à laquelle est associé un

"gain" (ou payement), positif ou négatif, pour chacun des participants.

Remarque: Un joueur peut être une personne, un groupe de personnes, une société, une région,

un parti politique, un pays ou la Nature.

Postulats (nous les retrouverons en économétrie) :

P1. Le marché est régi par la compétition et la coopération....

P2. Les comportements des agents économiques sont rationnels (...)

P3. Il est possible de formaliser les comportements compétitifs

P4. Toutes les phénomènes compétitifs ont une dimensions utilitaire

Nous différencions et définissons quatre types de situations (que nous formaliserons plus loin) :

D1. Les "jeux coopératifs et non coopératifs" : un jeu est dit coopératif lorsque les joueurs

peuvent communiquer librement entre eux et passer des accords (par ex. sous forme d'un

contrat). Ils forment alors une coalition et recherchent l'intérêt général suivi d'un partage des

gains entre tous les joueurs. Dans un jeu non coopératif, les joueurs (qui ne communiquent pas

ou ne peuvent pas communiquer entre eux) agissent selon le principe de rationalité

économique : chacun cherche à prendre les meilleurs décisions pour lui-même (c'est à dire

cherche à maximiser égoïstement ses gains individuels). Ce dernier type de jeu fait intervenir

les probabilités.

D2. Les "jeux à somme nulle et non nulle" : un jeu est dit à "somme nulle" lorsque la somme

des gains des joueurs est constante (ou par le choix subtile d'une fonction utilité peut l'être...)

ou autrement dit : ce que l'un gagne est nécessairement perdu par un autre (échecs, poker…).

Les jeux de société sont souvent des jeux à somme nulle mais les situations réelles sont

souvent mieux décrites par les jeux non coopératifs à somme non nulle car certaines issues

sont profitables pour tous, ou dommageables pour tous (vie politique, situations d'affaires…).

Remarques:

R1. Certains théoriciens critiquent les jeux à somme nulle, au moins en vue des situations

économiques, au motif qu'un échange économique est en principe mutuellement avantageux et

que les jeux à somme nulle seraient totalement irréalistes.

R2. Les jeux à somme nulle sont parfois appelés "jeux antagonistes".

R3. Depuis l'invention de l'arme atomique, l'équilibre de la terreur respose sur la doctrine de

dissuasion offensive. Contre les capacités réciproques à s'infliger des dégâts colossaux, les

arsenaux nucléaires respectifs s'auto-annulent, dans un jeu à somme nulle, par un principe de

desctruction mutuelle assurée

D3. Les "jeux avec ou sans équilibre": un jeu à somme non nulle coopératif ou non est dit avec

"équilibre de Nash" s'il existe un couple de stratégies (dans le cas d'un jeu à deux joueurs) tel

que aucun des joueurs n'a intérêt à changer unilatéralement de stratégie et ceci afin de

s'assurer le maximum des minium (le "maximin") des gains.

D4. Les "jeux compétitifs et non compétitifs": un jeu non compétitif est à l'opposé d'un jeu

compétitif tel que par définition, lorsque toute couple de stratégie (dans le cas d'un jeu à deux

joueurs) est tel qu'il fait perdre ou gagner simultanément à tous les joueurs un gain donné

(quand je perds quelque chose tu perds quelque chose, quand je gagne quelque chose tu

gagnes aussi quelque chose).

REPRÉSENTATIVES de jeux

Il existe différentes manières de formaliser la théorie des jeux et de la décision et ce d'autant

plus suivant le type de situations dont il s'agit. Ainsi, nous distinguons :

1. Les "formes extensives" qui sont des formes synoptiques (arbre, branche, feuille) utiles à une

compréhension simple des stratégies possibles et où l'issue d'un jeu est assimilée à une feuille

dans laquelle nous retrouvons le vecteur des gains (ou "payements") respectif des joueurs. Ce

genre de représentation devient compliquée (longue à dessiner) lors de jeux répétitifs.

Lorsqu'une forme extensive fait appelé aux probabilités nous faisons alors référence à une

"arbre de décision" car comme nous l'avons mentionné au début, l'intervention des probabilités

est considéré à comme une théorie à part entière: la théorie de la décision.

2. Les "formes normales" qui permettent de réduire considérablement la taille et le temps de

représentation graphique d'un jeu sous forme d'un tableau (matrice) de gains (ou "payements")

mais qui sont inadaptés aux jeux répétitifs.

Deux sous-catégories principales peuvent en plus se distinguer (il en existe donc d'autres!):

- Les "formes normales des jeux à somme nulle" (jeux strictement compétitifs) où selon un

choix adapté il est possible de simplifier la représentation de la matrice (ou "bimatrice") en

demi-matrice puisque les gains sont égaux et opposés pour les joeurs pour chaque stratégie

donnée.

- Les "formes normales des jeux à somme non nulle" (jeux compétitifs).

Remarque: Chaque cellule du tableau/matrice contient donc un "vecteur" dont les composantes

sont les gains respectifs des joueurs. Si le jeu est à somme nulle chaque cellule ne contient

qu'une seule valeur puisque ce qui est gagné par un joueur est perdu par l'autre. Nous en verrons

de nombreux exemples.

3. Les "formes ensemblistes" qui ont une approche ensembliste orientée probabiliste qui va

nous permettre d'étudier la dernière forme ci-dessous.

4. Les "formes graphiques" qui sont sympathiques à regarder et que nous introduirons comme

approche complémentaire car faisant appel à la recherche opératonielle (cf. chapitre de

Méthodes Numériques).

FORME EXTENSIVE d'un jeu

Les règles d'un jeu stratégique et les gains contingents qui y sont associés peuvent donc être

représentées sous une forme extensive plus courrament nommé par les connaisseurs "arbre de

Kuhn".

Exemple:

Nous considèrons deux firmes d'ordinateurs qui ont à faire un choix de système d'exploitation.

La compatibilité entre les systèmes serait socialement préférable, mais pour des raisons liées à

l'histoire des deux firmes, chacune préférerait que ce soit l'autre qui fasse l'effort de s'adapter.

Si les deux firmes choisissent CAM, MBI ( ) gagne 600 M$ et Poire ( ) 200 M$. Si elles

choisissent MAC, c'est Poire qui gagne 600 M$ et MBI 200 M$. S'ils ne sont pas compatibles, ils

gagnent chacun 100 M$.

Remarque: Nous appelons ce type de jeu, un "jeu de coordination". Par exemple, le choix de

standards de télévision ou de lecteur des Mac et PC correspondent à ce type de jeux. Chaque

constructeur voudrait imposer son propre standard mais en cas de désaccord, les consommateurs

pourraient refuser d'acheter le produit.

Les firmes jouent séquentiellement tel que le jeu puisse être représenté sous la forme d'un

arbre de décision:

(1)

Remarques:

R1. La structure informationnelle mise en évidence fait référence à l'information dont dispose

chaque joueur à chaque noeud de décision du jeu.

R2. MAC/CAM est un jeu à "information parfaite" dans le sens que les joueurs connaissent

exactement l'éventail des leurs stratégies et de celles de leur adversaire et les conséquences

précises de ces stratégies. Ainsi, chaque noeud de la forme extensive est visible par les joueurs

(nous définirons le concept d'information parfaite de manière formelle un peu plus loin).

Une analyse plus simple de la meilleure stratégie à opter dans le cadre d'un jeu consiste à

passer directement à la forme normale comme nous le verrons un peu plus loin (mais cette

forme normale n'est pas adaptée pour une forme extensive d'une décision).

FORME EXTENSIVE D'UNE DÉCISION

Comme nous l'avons mentionné au début de ce chapitre, la théorie des jeux et de la décision se

différencient par le fait que les données de départ du premier se trouvent dans un univers

totalement déterministe alors que pour le second elles sont totalement probabilistes. Ce dernier

contexte est tellement important dans l'industrie qu'il existe comme nous allons le voir de suite

des logiciels spécialisés sur le marché pour gérer leur forme extensive.

Exemple:

Imaginons une société informatique B en concurrence potentielle, pour une migration

informatique internationale avec une autre société A (cette dernière pouvant être vue comme un

ensemble de concurrents aussi!).

En simplifiant quelque peu, mais sans être toutefois hors de la réalité, considérons que deux

choix sont ouverts àB: viser "cher" ou viser "bas".

Supposons que nous savons également que dans le passé B a soumis une proposition pour

chaque appel d'offres de ce type, alors que le groupe A ne l'a fait que dans 60% des cas (pas de

fonction de distribution de probabilité dans notre scénario!).

Nous savons également que:

- Si B soumet cher et est le seul à soumettre une proposition, le bénéfice attendu est de 22

millions.

- Si B soumet un prix élevé mais se trouve en concurrence avec le groupe A, il obtiendra le

contrat selon le niveau de prix demandé par le groupe A. Dans ce cas, il sait qu'il obtiendra en

moyenne 1 million.

- Si enfin B soumet à un prix bas, il est sûr d'obtenir le contrat et de réaliser un bénéfice de 10

millions.

Donc dans le cadre où le choix du projet est déterminé uniquement par son prix (au détriment

de la qualité comme dans la réalité...) les questions qui se posent sont alors les suivantes:

Q1. Que doit faire B, si aucune information complémentaire ne peut être obtenue?

Ceci constitue une situation du type: "décision sans information"

Q2. À supposer qu'un espion au groupe A puisse informer B si le groupe A soumettra une offre

ou non, combien vaudrait cette information pour B?

Ceci constitue une situation du type: "décision avec information parfaite"

Q3. Une société de conseil spécialisée peut donner son avis, mais son expertise, chère, s'élève à

1 million par étude. Pour répondre à cette question, nous savons que, dans le passé, sur les 30

fois où les groupe A avait en fait soumis une proposition, la société de conseil l'avait prévu 24

fois. Et, sur les 20 fois où il n'en avait pas soumis, elle l'avait prévu 17 fois. Faut-il lui

commander une étude (bon de toute façon dans la réalité ce genre d'information est quasi

impossible à obtenir...)?

Ceci constitue une situation du type: "décision avec information imparfaite"

S1. Pour répondre à la première question, nous représentons tout d'abord le problème à

résoudre sous une forme graphique fort logique (qui est pour l'instant assez simple à mettre

aussi sous forme de tableau) avec le logiciel TreeAge par exemple:

(2)

Ensuite en lançant le calcul de l'espérance à chaque branchement, TreeAge nous donne

simplement:

(3)

Ainsi, la réponse à la première question est que la stratégie donnant l'espérance de gain la plus

grande est la stratégie "Pas Cher" car il y a un gain espéré de 10 millions.

Avec la première décision (Cher) nous gagnerions en moyenne que:

(4)

Remarque: Dans les arbres de décisions construites avec TreeAge une règle de base est d'avoir

à chaque branche probabiliste la somme des probabilités qui vaut 1!

S2. Pour répondre à la deuxième question (Q2) qui est de connaître la valeur financière de

l'information donné par l'espion nous devons d'abord construire l'arbre (bon l'exemple est

tellement simple qu'ici ce n'est pas vraiment nécessaire mais bon...) d'une situation dite de

concurrence à "information parfaite" (car l'espion peut nous fournir une information tout à fait

sûre).

L'arbre est facile à construire. Si l'espion nous dit que le groupe A va faire une offre, alors nous

allons devoir proposer l'offre la moins chère. Dans le cas contraire, nous allons proposer l'offre

la plus chère. Le scénario est donc le suivant:

(5)

La probabilité qu'il y ait concurrence est de 60% et 40% qu'il n'y en ait pas. Donc l'espérance du

gain est dans une situation à information parfaite:

(6)

Donc par rapport à la meilleure situation d'avant nous avec un delta de 4.8 millions. C'est donc

la valeur de l'information parfaite de l'espion.

S3. Concernant la troisième question qui consiste à déterminer la valeur de l'information

imparfaite fournie par une société de conseil. La seule certitude de bon sens que nous ayons

est que cette information ne peut avoir une valeur supérieure à celle de l'information parfaite:

elle aura donc une valeur comprise entre 0 et 4.8 millions.

Pour commencer rappelons que selon l'énoncé nous pensons que pour le mandat actuel il y a

60% de probabilité qu'il y ait concurrence et la société de conseil dans le passé a eu 80% du

temps raison (24 fois sur 30) lorsqu'il avait dit qu'il y avait concurrence (et donc 20% des autres

fois tort...).

Respectivement, nous pensons pour le mandat actuel qu'il y a 40% de probabilité qu'il y ait non

concurrence (1-60%) et la société de conseil dans le passé au eu 85% du temps raison (17 fois

sur 20) lorsqu'il avait dit qu'il n'y avait pas de concurrence (et donc 15% des autres fois tort...).

Ce qui se résume sous forme de tableau:

Prévisions

Proba. Concurrence Sans concurrence

Réalité Concurrence 60% 80% 20%

Sans concurrence 40% 15% 85%

Tableau: 1 - Décision avec information imparfaite (forme initiale)

Nous aimerions maintenant:

1. Calculer la probabilité qu'il y ait réellement concurrence ET que la société de conseil ait

prévu de la concurrence.

2. Calculer la probabilité qu'il y ait réellement pas de concurrence ET que la société de conseil

ait prévu de la concurrence.

3. Calculer la probabilité qu'il y ait réellement pas de concurrence ET que la société de conseil

ait prévu pas de concurrence.

4. Calculer la probabilité qu'il y ait réellement concurrence ET que la société de conseil ait prévu

pas de concurrence.

Pour calculer ces probabilités, nous allons utiliser la formule de Bayes démontrée dans le

chapitre de Probabilités. Ainsi pour rappel, les probabilités à posteriori et à priori sont données

par

et (7)

d'où:

(8)

Nous pouvons maintenant:

1. Calculer la probabilité qu'il y ait réellement concurrence ET que la société de conseil ait prévu

de la concurrence. Nous avons alors en utilisant le tableau précédent:

(9)

où dans cette situation A est donc l'événement "il y a eu réellement concurrence" et B est

l'événement "prévision de concurrence par la société de conseil". B/A est donc l'événement

"prévision de concurrence par la société de conseil sachant qu'il y a eu réellement concurrence".

2. Calculer la probabilité qu'il n'y ait réellement pas concurrence ET que la société de conseil ait

prévu de la concurrence. Nous avons alors en utilisant le tableau précédent:

(10)

où dans cette situation A est donc l'événement "il y a eu réellement pas de concurrence" et B est

l'événement "prévision de concurrence par la société de conseil". B/A est donc l'événement

"prévision de concurrence par la société de conseil sachant qu'il y a eu réellement pas de

concurrence".

3. Calculer la probabilité qu'il y ait réellement pas concurrence ET que la société de conseil ait

prévu pas concurrence. Nous avons alors en utilisant le tableau précédent:

(11)

où dans cette situation A est donc l'événement "il y a eu réellement pas de concurrence" et B est

l'événement "prévision de pas de concurrence par la société de conseil". B/A est donc

l'événement "prévision de pas concurrence par la société de conseil sachant qu'il y a eu

réellement pas de concurrence".

4. Calculer la probabilité qu'il y ait réellement concurrence ET que la société de conseil ait

prévu pas de concurrence. Nous avons alors en utilisant le tableau précédent:

(12)

où dans cette situation A est donc l'événement "il y a eu réellement concurrence" et B est

l'événement "prévision de pas de concurrence par la société de conseil". B/A est donc

l'événement "prévision de pas concurrence par la société de conseil sachant qu'il y a eu

réellement concurrence".

Nous avons alors le tableau suivant qui résume de manière utilisable les scénarios possibles

pour notre P.D.M. :

Réalité/Prévisions Concurrence Sans concurrence

Concurrence 48% 12%

Sans concurrence 6% 34%

Total 54% 46%

Tableau: 2 - Décision avec information imparfaite (forme finale)

A l'aide de ce tableau, nous vérifions bien que la somme des 4 premières cases donne 100%

(c'est-à-dire l'ensemble des éventualités).

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