Notes sur la théorie de la mesure (et de l'intégration) - 1° partie, Notes de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la théorie de la mesure (et de l'intégration) - 1° partie, Notes de Méthodes Mathématiques

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Notes de mathématique sur la théorie de la mesure (et de l'intégration) - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les espaces mesurables, les exemples.
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THÉORIE DE LA MESURE (ET DE L'INTÉGRATION)

La mesure, au sens topologique, va nous permettre de généraliser la notion élémentaire de

mesure d'un segment, ou d'une aire (au sens de Riemann, par exemple) et est indissociable de

la nouvelle théorie de l'intégration que Lebesgue mettra en place de 1901 à 1902 et que nous

allons aborder ici afin de construire des outils mathématiques beaucoup plus puissant que

l'intégrale simple de Riemann (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral).

La théorie de la mesure va également nous permettre de définir avec rigueur le concept de

mesure (peu importe la mesure de quoi) et ainsi de revenir sur des résultats importants de

l'étude des probabilités (cf. chapitre de Probabilités). Effectivement, nous allons voir (nous

définirons le vocabulaire qui suit plus loin) pourquoi (U, A, P) est un "espace de probabilités"

où A est au fait une tribu sur U et P une mesure sur l'espace mesurable (U, A).

Avertissement : Le niveau d'abtraction et de volonté requis pour la lecture et la compréhension

de ce chapitre est assez élevé. Il faut être à l'aise avec les notions vues en théorie des

ensembles ainsi qu'en topologie.

ESPACES MESURABLES

Quand en mathématiques nous dérivons, intégrons ou comptons, nous effectuons de manière

implicite une mesure d'un objet ou ensemble d'objet. Rigoureusement, les mathématiciens

souhaitent définir comment peut être structuré la chose mesurée, comment faire une mesure

de celle-ci et les propriétés en découlant!

Définitions:

D1. Soit E un ensemble, une "tribu" (ou ""σ-algèbre" ") sur E est une famille de parties

de E vérifiant les axiomes suivants :

A1. (voir exemples plus bas - E étant considéré comme élément)

A2. Si A est un élément d'une tribu alors . Ce qui signifie que est "stable

par passage au complémentaire". Cet axiome implique que l'ensemble vide est toujours un

élément d'une tribu!

A3. Pour toute suite d'éléments de nous avons . Nous disons alors

que est "stable par union dénombrable".

Par exemple, la graduation d'une simple règle de mesure... satisfait ces trois axiomes.

Remarques:

R1. Nous écrivons car nous considérons avec cette notation E non plus comme un sous-

ensemble de mais comme un élément de !

R2. Les cas non-dénombrables sont typiques de la topologie, de la statistique ou du calcul

intégral!

D2. Le couple est appelé "espace mesurable" et nous disons que les éléments

de sont des "ensembles mesurables".

D3. Si dans le troisième axiome nous imposons que soit stable par union finie (non-

dénombrable) nous imposons alors la notion plus générale "d'algèbre". Ainsi, une tribu est

nécessairement contenue dans une algèbre (mais le contraire n'est pas vrai car justement

l'axiome est plus fort).

Remarque:Dans le domaine des probabilités, E est assimilé à l'Univers des événements et à

une famille d'événements et nous parlons "d'espace probabilisable" ou... "d'espace mesurable".

Exemples:

E1. Soit un ensemble de cardinal 2. Les deux seules tribus qui satisfont les trois

axiomes sont :

(19.1)

Il n'y a pas d'autres tribus pour l'ensemble E donné que ces deux (la grossière, et la maximale),

car il ne faut pas oublier que l'union de chacun des éléments de la tribu doit aussi être dans la

tribu (axiome A3), ainsi que le complémentaire d'un élément (axiome A2).

Nous voyons par ailleurs de cet exemple que si E est un ensemble est bien une tribu!

E2. L'ensemble des parties de E, noté est aussi une tribu (dixit l'exemple 1).

Une tribu est aussi "stable par union des complémentaires dénombrables". En effet

si est une suite d'éléments de nous avons (trivial en prenant comme référence

l'exemple E1) :

et (19.2)

Une tribu est aussi "stable par intersections dénombrables" (trivial en prenant comme référence

l'exemple E1) :

(19.3)

ce qui amène à ce qu'une tribu est stable par unions et intersections dénombrables. En

particulier, si nous prenons deux éléments d'une tribu alors . Avec pour

rappel (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) :

(19.4)

Remarque: Nous voyons aisément avec l'exemple E1 que si est une famille de tribus

sur E alors est une tribu (la vérification des trois axiomes est immédiate)

Bon c'est bien joli de jouer avec des patates et sous-patates... et leur complémentaires mais

passons à la suite.

Définition: Soit E un ensemble et une famille de sous-ensembles de tel

que . Soit la famille de toutes les tribus contenant (entre autres) . n'est

évidemment pas vide car . Nous notons par définition :

(19.5)

la "tribu engendrée" par . est donc par définition la plus petite tribu contenant (et par

extension la plus petite tribu de E).

Voici deux exemples qui permettent de vérifier si ce qui précède à été compris et qui

permettent de mettre en évidence des résultats importants pour la suite.

Exemples:

E1. Soit E un ensemble, et alors (lorsque A est vu comme un sous-

ensemble de Ecomme le précise l'énoncé et non comme une famille de sous-ensembles!) :

(19.6)

E2. Si est une tribu sur E alors :

(19.7)

E3. Soit et nous avons dès lors (prenez bien garde car

maintenant A est une famille de sous-ensemble et non simplement un unique sous-ensemble!)

la tribu engendrée suivante :

(19.8)

Plutôt que de déterminer cette tribu en cherchant la plus petite tribu de contenant A (ce

qui serait laborieux) nous jouons avec les axiomes définissant une tribu pour facilement trouver

celle-ci.

Ainsi, nous trouvons donc bien dans au moins l'ensemble vide obligatoire ainsi que:

(19.9)

selon l'axiome A1 et:

(19.10)

lui-même par définition de et les complémentaires de:

(19.11)

selon l'axiome A2 ainsi que les unions:

(19.12)

selon l'axiome A3.

Définition: Soit E un espace topologique (cf. chapitre de Topologie). Nous notons la tribu

engendrée par les ouverts de E. est appelée la "tribu borélienne" sur E. Les éléments

de sont appelés les "boréliens" de E.

Remarques:

R1. La notion de borélien est surtout intéressante car elle est nécessaire à la définition de la

"tribu de Lebesgue" et par suite à "la mesure de Lebesgue" qui nous aménera à définir

"l'intégrale de Lebesgue".

R2. La tribu étant stable par passage au complémentaire, elle contient aussi tous les

fermés!

R3. Si E est un espace topologique à base dénombrable, est engendrée par les ouverts de la

base.

Exemple:

Si désigne l'espace des réels muni de la topologie euclidienne (cf. chapitre de Topologie), la

famille des intervalles ouverts à extrémités rationnelles est une "base dénombrable" (étant

donné les extremités...) de et donc engendre . Même remarque pour , , avec

comme base dénombrable la famille des pavés ouverts à extrémités rationnelles.

Considérons maintenant un ensemble dense (cf. chapitre de Topologie) dans . Les familles

suivantes engendrent :

; ; ; (19.13)

Démonstration:

Soit (la famille des ouverts) :

(19.14)

Nous avons évidement :

(19.15)

De plus :

(19.16)

Donc les intervalles du type [a,b[ avec a et b dans appartiennent aussi à . Donc, si

nous généralisons, avec , il existe une suite d'éléments de décroissant vers x et

une suite d'éléments de croissant vers y tel que :

(19.17)

ce qui entraîne au même titre (que ) que . Les autres cas se traitent de

manière analogue.

C.Q.F.D.

Soit un espace mesurable et (et ) (où A est donc considéré comme un

sous-ensemble et non comme un élément !). La famille est une tribu

sur A appelée "tribu trace" de sur A, nous la noterons . De plus, si , la tribu

trace est formée par les ensembles mesurables contenus dans A.

Démonstration: Nous allons faire une démonstration par l'exemple (...). Nous vérifions les trois

points de la définition d'une tribu :

1.

2. Soit et donc

Exemple:

Soit alors (une tribu parmi d'autres - ne pas oublier la stabilité par union !) :

(19.18)

Choisissons (il est évident que est une tribu sur A).

Dès lors :

(19.19)

et nous avons bien ainsi que .

3. Soit une suite d'éléments de alors :

(19.20)

La dernière assertion de la proposition sera supposée évidente.

C.Q.F.D.

Soit maintenant E un ensemble, une famille de parties de E et non vide. Nous

notons la trace de sur A et la tribu engendrée par sur A. Alors :

(19.21)

Exemple:

Soit l'ensemble , , alors :

(19.22)

Et vérifions :

(19.23)

Donc l'égalité est vérifiée.

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