Notes sur la théorie de la mesure (et de l'intégration) - 2° partie, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur la théorie de la mesure (et de l'intégration) - 2° partie, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes de mathématique sur la théorie de la mesure (et de l'intégration) - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les propriétés triviales, le théorème de la classe monotone.
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Un corollaire trivial de cette égalité est que si nous considérons un espace

topologique E et muni de la topologie induite. Alors:

(19.24)

Rappelons (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) que si nous avonsE qui est un ensemble,

alors pour tout nous définissons la différence symétrique entre A et B par :

(19.25)

Les propriétés triviales sont les suivantes :

P1. Une algèbre est stable par différence symétrique ( nous avons )

P2.

P3.

P3.

Si est une algèbre sur E, alors est un "anneau de Boole" (ou algèbre de Boole mais

attention avec le terme "algèbre" qui peut prêter à confusion avec la théorie des ensembles)

avec et E comme élément neutre "additif" ( ) respectivement "multiplicatif" ( ).

Pour des rappels sur les éléments cités dans le paragraphe précédent, le lecteur pourra se

reporter au chapitre de Théorie Des Ensembles et le chapitre d'Algèbre De Boole (cf. chapitre de

Systèmes Logiques Formels)

Démonstration: ("addition") est associative car en développant nous obtenons (cela se vérifie

en faisant un diagramme saggital au besoin - les "patates") :

(19.26)

et cette dernière expression est stable par permutation (commutation) de A et C (même

méthode de vérification) . Donc :

(19.27)

Nous vérifions que est bien neutre par rapport à la différence symétrique (la démonstration

que E est neutre par rapport à l'inclusion est évidente). Il est trivial que :

et que (19.28)

est donc bien un groupe abélien par rapport à la loi (différence symétrique).

C.Q.F.D.

Pour finir est distributif par rapport à . En effet:

(19.29)

Ce qui fait bien de un anneau (qui de plus est un anneau commutatif).

THÉORÈME DE LA CLASSE MONOTONE

Définition: Soit E un ensemble. Une "classe monotone" sur E est une famille de parties

de E vérifiant :

A1.

A2. et

A3. Si est une suite croissante (attention au terme "croissant") d'éléments

de alors (stable par union dénombrable croissant)

Remarques:

R1. Une suite croissante d'ensembles c'est :

R2. Les deux premiers points impliquent que est stable par passage au complémentaire.

R3. Les axiomes (2) et (3) (plus le (1)) amènent que la classe monotone est stable par

intersection décroissante. Une manière de vérifier c'est de prendre le complémentaire de chaque

élément de la suite croissante pour tomber sur la suite décroissante et inversement.

R4. L'axiome 3 des classes monotones étant un peu plus restrictif (plus "fort") que l'axiome 3 des

tribus (puisque nous y imposons une suite croissante). Cela implique que toute tribu est une

classe monotone (tout union dénombrable de la tribu étant dans la tribu ce qui est une condition

plus forte que la suite croissante) !

De la même manière que pour les tribus, si nous considérons une famille de classes

monotones sur E. Alors est une classe monotone (la démonstration se vérifie

immédiament par les trois axiomes précédemment cités).

Exemple:

Si E est un ensemble, est une classe monotone sur E. Plus généralement, une tribu est

une classe monotone.

De manière équivalente aux tribus, considérons un ensemble E et . Soit la famille

de toutes les classes monotones contenant . n'est pas vide car . Nous notons :

(19.30)

la classe monotone engendrée par . est la plus petite classe monotone contenant (et

satisfaisant bien évidemment aux axiomes).

Remarque: Si E est un ensemble et alors , car est une classe

monotone (et aussi une tribu) contenant et donc elle contient aussi (voir les exemples

avec les tribus).

Le théorème (de la classe monotone) s'énonce ainsi : soit E un ensemble. Si est une famille

de parties de Eque nous imposons stable par intersections finies alors (nous

devons donc prouver que la tribu minimale de est égale à la classe monotone minimale de

). Si nous n'imposons pas que soit stable par intersections finies nous n'aurions pas

nécessairement l'égalité.

Démonstration:

comme déjà dit (c'est quasiment trivial). Nous allons montrer dans un premier

temps que est donc aussi une tribu sur E. Pour ceci il suffit de montrer que est

(aussi) stable par union dénombrable (et non nécessairement par une suite croissante

d'éléments!).

Considérons les familles suivantes pour la démonstration :

(19.31)

(19.32)

Par les définitions précédentes mais étant (imposé) stable par intersections

finies entraîne et donc (c'est le même raisonnement que pour les tribus) :

(19.33)

est une classe monotone en effet , si et que (axiome 2) alors

:

(19.34)

et donc (ce qui appuie que les autre éléments satisfont la relation précédente) :

Si est une suite croissante d'éléments de alors :

(19.35)

car est une suite croissante.

Ainsi est bien une classe monotone et par , nous avons donc :

(19.36)

Cette dernière égalité implique . Comme pour , nous montrons que est une

classe monotone et donc , ce qui veut dire par extension que est est donc

stable par intersections finies.

étant stable par passage au complémentaire ceci entraîne que est, nous venons

de le montrer, stable par unions finies (alors que nous voulons démontrer que c'est stable par

union dénombrable).

Soit à présent une suite d'éléments de . Nous considèrons la suite :

(19.37)

est une suite croissante d'éléments de , donc :

mais (19.38)

Donc :

(19.39)

Ainsi est stable par union dénombrable et enfin est une tribu. Or

comme cela nous amène donc à .

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