Notes sur la théorie des files d'attente - 1° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or13 January 2014

Notes sur la théorie des files d'attente - 1° partie, Notes de Management

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Notes de gestion sur la théorie des files d'attente - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la problématique, le tableau, la modélisation des durées d'arrivées m/m/..., la modélisation des durées d...
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Les théories des files d'attentes sont des outils extrêmement puissant et vastes (une

présentation complète nécessite au bas mot 300 pages A4) permettant de prendre en compte

et de modéliser les goulots d'étranglement dans les processus des entreprises soit au niveau de

la logistique, des centrales téléphoniques, des requêtes SQL sur les serveurs, des caisses de

grands magasins ou encore dans les toilettes des grands stades sportifs (...) en fonction des

hypothèses et contraintes de départ.

Système Clients Service

Comptoir-réception Personnes Réceptionniste

Atelier de réparation Machines Technicien

Garages Camion Mécanicien

Hôpital Patients Infirmier

Ordinateur Tâches Processeurs, disques, rubans

Aéroport Appareils Piste d'envoi

Réseau routier Véhicules Feux de circulation

Atelier de fabrication Tâches Machines/Ouvriers

Téléphone Appel Échangeur

Transport en commun Voyageur Autobus/Métro

Buanderie Ligne Laveuse/Sécheuse

... ... ...

Tableau: 12 - Exemples de files d'attentes typiques

Ces théories permettent se révèlent notamment utile pour justifier des investissement, des

embauches ou des achats d'équipements. De façon plus générale, elle est une partie intégrante

des techniques mathématiques de gestion lorsqu'il est nécessaire de rechercher un optimum

économique entre des coûts d'attente et des coûts de service d'un système.

La problématique type dans les entreprises peut s'exprimer ainsi:

- Quel est le nombre optimal de stations/terminaux à mettre en service permettant de traiter la

demande tout en évitant une file d'attente trop importante et le départ de certains clients?

- Quels est le temps d'attente moyen d'un client devant la stations/terminal?

- Quel est le nombre moyen de clients en attente dans la file?

Ces questions permettent d'exprimer des objectifs en matière de qualité et de niveau de

service:

1. Un temps d'attente moyen à ne pas dépasser

2. Une probabilité d'attente maximale

3. Un temps d'attente acceptable

Ces théories font donc appel à des méthodes statistiques et algébriques que nous avons

étudiées dans les chapitres de Statistiques et de Théorie Des Graphes. Elles n'en sont alors que

plus passionnante.

Pour présenter le sujet, plutôt que de faire une généralisation abstraite, nous avons choisi de

développer la théorie autour d'un exemple concret et classique qui est le télétrafic. Une

généralisation à tout autre cas d'étude se faisant ensuite relativement facilement par analogies.

Considérons donc une central téléphonique regroupant les lignes d'un ensemble d'immeubles

d'une ville et ne possédant pas autant de lignes allant vers le réseau que de lignes allant vers

les différents particuliers qu'il dessert.

Nous pouvons donc légitiment nous demander de combien de lignes nous avons besoin pour

desservir tous ces abonnés.

Pour dimensionner son réseau, un opérateur va devoir calculer le nombre de ressources à

mettre en oeuvre pour qu'avec une probabilité extrêmement proche de 1, un usager qui

décroche son téléphone puisse disposer d'un circuit. Pour cela, il va falloir développer quelques

relations de probabilité de blocage. Ces relations vont demander une modélisation statistique

des instants de début et de fin d'appels ainsi que des durées de ces appels. Les paragraphes

qui suivent vont donc introduire les lois de probabilités utilisées pour ces dimensionnements.

Enfin, avant de commencer, nous souhaitons mettre à disposition le tableau récapitulatif ci-

dessous des notations les plus importantes que le lecteur découvrira au fur et à mesure de sa

lecture et auquel il pourra se reporter en cas de confusion:

Variables Information Unité

Flux d'arrivée de clients dans la file

d'attente (communication), appelé

également "taux moyen d'arrivée des

appels", ou encore "fréquence moyenne

d'arrivées".

L'inverse donne le temps moyen entre

arrivées (appels) dans la file d'attente.

Flux de départ de clients (communication)

correspondant au taux de traitement.

L'inverse donne le temps moyen

d'attente pendant le service (donc une fois

arrivé en fin de file d'attente) appelé aussi

"temps moyen de service".

A ou

Taux d'utilisation du service (par unité de

serveur). Assimilé au concept de trafic (un

peu abusivement) ou de charge. Est égal au

rapport et doit être strictement

inférieur à 1 pour éviter l'engorgement.

-

C Nombre de clients au total dans le système -

Nombre de clients en attente dans la queue -

Nombre de clients en service (traitement) -

T Temps d'attente dans le système [s]

Temps d'attente dans la queue [s]

Probabilité d'avoir k clients dans le système -

Tableau: 13 - Notations conventionnelles des files d'attentes

MODÉLISATION DES durées d'ARRIVÉES M/M/... Considérons des appels qui débuteraient de manière aléatoire. Prenons ensuite un intervalle de

temps t et divisons cet intervalle en n sous intervalles de durée t/n.

Nous choisissons n suffisamment grand pour que les hypothèses suivants soient respectées :

H1. Une seule arrivée d'appel peut survenir dans un intervalle t/n

H2. Les instants d'arrivée d'appels sont indépendants les uns des autres (le taux d'arrivée n'est

pas influencé par le nombre d'appels provenant de la population). Ce qui présuppose une

population infinie.

H3. La probabilité qu'un appel arrive dans un sous intervalle donné est proportionnelle à la

durée du sous intervalle.

Nous écrivons alors la probabilité de un appel dans un sous intervalle (1) de la manière

suivante :

(137)

où le 1 en indice du p représente donc l'analyse sur 1 appel, le 1 entre parenthèses le fait que

l'analyse se fait sur 1 sous-intervalle et enfin le terme représente le coefficient de

proportionnalité entre la probabilité et la durée t/n du sous-intervalle.

L'hypothèse de départ consistant à considérer comme nulle la probabilité d'avoir plusieurs

appels dans un sous intervalle s'écrit alors :

(138)

La probabilité de n'avoir aucun appel durant un sous intervalle de temps t/n s'écrit donc :

(139)

En développant, nous obtenons :

(140)

et en utilisant la propriété énoncée juste au-dessus :

(141)

La probabilité d'avoir k arrivées d'appels durant n intervalles de temps s'obtient alors en

considérant le nombre de manière de choisir k intervalles parmi n... (puisqu'il ne peut y avoir

plus d'un appel par intervalle)

Pour chacune de ces solutions, nous aurons alors forcément k intervalles avec une arrivée

d'appel et n-kintervalles avec aucune arrivée d'appel. Nous avons vu dans le chapitre de

statistique que la loi qui permettait d'obtenir la probabilité de choisir un certain arrangement

d'issues binaires parmi un nombre total d'issues était la loi de Bernoulli donnée par :

(142)

Il vient donc dans notre cas de figure que la probabilité d'une des solutions sera :

(143)

La probabilité globale s'obtient en sommant les probabilités de tous les cas ce qui nous donne

la loi binomiale (cf. chapitre de Statistiques) :

(144)

Ou encore, en remplaçant les probabilités par leurs valeurs en fonction de :

(145)

La limite de la probabilité lorsque n tend vers l'infini va être égale à la probabilité

d'avoir k arrivées d'appel durant un intervalle de temps t. Nous notons cette probabilité :

(146)

En reprenant alors les différents termes de l'expression de et en faisant tendre n vers

l'infini, il vient :

(147)

En utilisant les développements de Taylor (cf. chapitres de Suites Et Séries) :

(148)

Soit en prenant que le premier terme, c'est-à-dire en considérant x très petit :

(149)

Donc :

(150)

et pour la dernière partie :

(151)

d'où après regroupement :

(152)

Cette relation est donc extrêmement importante car elle représente la probabilité

d'observer k arrivées d'appels dans un intervalle de durée t (ou le nombre de clients qui se

trouve devant une caisse dans un intervalle de duréet) et il s'agit donc d'une distribution de

Poisson (cf. chapitre de Statistiques). Dans la pratique, il faut donc s'assurer avant d'utiliser les

relations qui vont suivre que cette distribution soit bien respectée (avec un test du khi-deux

typiquement).

Il s'ensuit par analogie avec la forme générale de la loi de Poissons que le paramètre est le

taux moyen d'arrivée (taux moyen d'apparition) d'appels par unité de temps ( ou en anglais

"Poisson arrivals see time average": PASTA...). Typiquement il s'agira d'un nombre moyen

d'appels par secondes (voir les estimateurs de la loi de Poissons dans le chapitre de

Statistiques).

Ainsi, nous avons pour espérance et variance (cf. chapitre de Statistiques) du nombre d'appels:

(153)

Exemple:

Une TPE souhaitant mettre en place une hotline estime qu'au début elle recevra par journée de

8 heures, 4 appels téléphoniques (soit une probabilité de 1 chance sur 2 d'avoir un appel par

heure et donc un taux moyen de 0.5 appels par heure). Alors la probabilité qu'elle reçoive

exactement 4 appels (k) par jour et au moins 4 appels (k) par jour selon le modèle théorique de

la théorie des files d'attentes est de:

(154)

où nous avons utilisé la fonction POISSON( ) intégrée dans MS Excel.

Maintenant, introduisons la variable aléatoire représentant le temps séparant deux arrivées

d'appel. Nous introduisons pour cela la probabilité A(t) qui est la probabilité que le

temps soit inférieur ou égal à une valeur t :

(155)

Nous avons donc :

(156)

Or, représente la probabilité qu'il n'y ait aucune arrivée d'appels durant un temps t.

Cette probabilité a justement été établie plus haut :

(157)

Nous en déduisons donc :

(158)

Nous pouvons aussi introduit la densité de probabilité de la variable aléatoire . Nous obtenons

ainsi:

(159)

Remarque: Rappelons que dans le chapitre de Statistiques nous avons souvent fait la démarche

inverse. C'est-à-dire compte tenu d'une densité de probabilité a(t) nous cherchions la fonction de

répartition A(t) via une intégration dans le domaine de définition de la variable aléatoire.

La densité de probabilité permet donc de calculer la durée moyenne entre deux arrivées

d'appel :

(160)

En intégrant par partie, il vient :

(161)

Nous obtenons ainsi, que pour un taux d'arrivé d'appels de appels par secondes, le temps

moyen entre appel est égal à (résultat relativement logique mais encore fallait-il le

démontrer rigoureusement). Effectivement, si nous avons qui vaut 2 appels par heures, le

temps moyen d'arrivée est bien de 0.5 heures (1/2) entre appels

Supposons maintenant qu'aucun appel ne soit arrivé jusqu'à un temps et que nous

souhaitons calculer la probabilité qu'un appel arrive durant une durée t après le temps .

Nous devons donc calculer la probabilité d'avoir une durée entre deux appels inférieure

à tout en étant supérieure à .

Cette probabilité s'écrit . En utilisant la formule de Bayes (cf. chapitre de

Probabilités) :

(162)

mais avec les notations idoines il vient :

(163)

Cette probabilité peut encore s'écrire :

(164)

En reprenant les expressions des différentes probabilités :

(165)

Nous voyons donc que la probabilité d'apparition d'un appel durant un temps t après une

durée pendant laquelle aucun n'est arrivé est la même que la probabilité d'apparition d'un

appel pendant une durée t, indépendamment de ce qui a pu arriver avant. Nous considérons

donc que le phénomène (la loi exponentielle) est sans mémoire.

MODÉLISATION DES DURÉES DE SERVICE M/M/...

Pour étudier les lois de probabilité qui modélisent les durées des appels (sous-entendu: en

service une fois la fin de la file d'attente atteinte), nous procédons comme précédemment.

Nous considérons donc un intervalle de temps de durée t que nous décomposons en n sous

intervalles de duréet/n. Nous choisissons n de sorte que les hypothèses suivantes restent

justifiées :

H1. La probabilité qu'un appel se termine durant un sous intervalle est proportionnelle à la

durée du sous intervalle.

Nous noterons :

(166)

cette probabilité, expression dans laquelle représente le coefficient de proportionnalité.

H2. La probabilité qu'un appel se termine durant un sous intervalle est indépendant du sous

intervalle considéré.

Nous introduisons alors la variable aléatoire représentant la durée d'un appel et la

probabilité H(t) que la durée d'un appel soit inférieure ou égale à t :

(167)

La probabilité qu'un appel ayant débuté à t = 0 ne se termine pas avant t s'écrit alors :

(168)

cette probabilité est égale à la probabilité que l'appel ne se termine dans aucun des n sous

intervalles de duréet/n :

(169)

En faisant tendre n vers l'infini, nous obtenons :

(170)

Nous obtenons donc l'expression de la probabilité qu'un appel ait une durée inférieure ou égale

à t :

(171)

Nous pouvons en déduire la densité de probabilité associée, notée h(t) :

(172)

qui correspond donc à une loi exponentielle (le temps qu'un client emploie pour être servi à

une caisse - durée de service - ou pour que son appel soit traité une fois en fin de file d'attente

suit donc une loi exponentielle!). Dans la pratique, il faut donc s'assurer avant d'utiliser les

relations qui vont suivre que cette distribution soit bien respectée (avec un test du khi-deux

typiquement).

De la même manière que dans les paragraphes précédents, la durée moyenne d'appel (laps de

temps moyen entre deux fins d'appels en service) s'obtient en calculant (toujours la même

intégration par parties que plus haut) :

(173)

En conclusion, nous avons appels qui cessent par secondes et nous avons une durée

moyenne d'appel en service égale à:

(174)

Effectivement, si nous avons par exemple 2 appels en service qui cessent par heure, cela nous

donne une durée moyenne de 0.5 heure (1/2) de service par appel.

Le rapport:

(175)

représente donc le nombre d'appels qui apparaissent dans la file d'attente sur le nombre

d'appels en service qui se terminent pendant un intervalle de temps (temps de service moyen),

ce qui représente en fait tout simplement le trafic (ou autrement dit: l'intensité de trafic) ou

d'un autre point de vue l'utilisation moyenne du service dont l'unité est le "Erlang" (nous

rappelerons cette définition plusieurs fois par la suite...).

Exemple:

Dans un magasin, on compte 240 clients par heure et il faut 28 secondes en moyenne pour

traiter un client (temps de service moyen). Sachant que la durée de service suit une loi

exponentielle et la distribution des arrivées une loi de Poisson, quelle est l'intensité du trafic et

le taux d'occupation des caisses si le magasin en a que deux?

Le trafic est donc donné par le rapport du nombre de clients par heure divisé par le nombre de

clients traités par heure. Comme il faut 28 secondes pour en traiter un et qu'il y a 3'600

secondes dans une heure, nous avons l'intensité de trafic suivante:

(176)

La charge moyenne (ou taux d'occupation) par caisse, sachant qu'il y en a deux, est donc de:

(177)

C'est cette dernière valeur qui sera prise au final comme valeur du trafic A par station pour les

calculs ultérieurs.

Les probabilités d'apparition d'appels et de fin d'appels qui ont été développées dans les

paragraphes précédents permettent de modéliser le processus complet d'apparition et de fin

d'appels.

NOTATION DE KENDALL

Une notation a été développée par Kendall pour représenter les files d'attentes suite aux

développements intensifs (et nombreux) des modèles mathématiques les concernant. La forme

réduite de cette notation est:

A/B/C

où A représente le processus d'arrivée des clients dans le système, B représente la distribution

des services des clients du système et C le nombre de serveurs du système.

Par exemple, la notation M/M/1 signifie que les clients arrivent au système selon une loi de

Poisson (modélisée par une chaîne de Markov), que le temps de traitement est du type

exponentiel (modélisée par une chaîne de Markov aussi) et le système constitué d'un seul

serveur selon le principe du premier arrivé premier servi dans une file d'attente à population

infinie et régime permanent. Ce qui correspond respectivement aux trois relations suivantes

que nous avons démontrées plus haut pour la probabilité d'arrivée de k appels dans un temps

donné:

(178)

la probabilité que le temps de traitement (temps de service) soit égale à une certaine valeur :

(179)

et la probabilité d'avoir k clients (communications) :

(180)

La lettre M est utilisée pour indiquer que les processus employés sont du type markovien

(sous-entendu exponentielle.

En général, nous utilisons la notation:

A/B/C/d:e

d représente le nombre maximum de clients pouvant être présents simultanément dans le

système. Ce nombre entier varie entre 1 et l'infini. Quand la capacité mémoire de la file est

considérée comme illimitée, ce paramètre est souvent omis.

e représente la discipline de service. Par exemple:

- FIFO pour premier arrivé, premier servi (First In-First Out appelé aussi FCFS pour First Come-

First Serve). Tous les modèles théoriques que nous allons développer ci-dessous seront de type

FIFO!

- LIFO pour dernier arrivé premier servi (Last In-First Out appelé aussi LCFS pour Last Come-

First Serve)

- SJF pour servir le travail le plus court d'abord (Shortest Job First)

- SRO pour servir en ordre aléatoire (Service in Randon Order)

et encore d'autres...

Ce dernier paramètre est omis si la discipline est FIFO. Ainsi, M/M/1 s'écrirait sans rien

omettre:

MODÉLISATION DES ARRIVÉES ET DÉPARTS M/M/1

A chaque instant un certain nombre d'appels vont apparaître et d'autres vont se terminer. Nous

pouvons donc modéliser l'état où l'on se trouve à un instant donné comme une chaîne d'états.

Chaque état représente le nombre d'appels en cours. Nous concevons donc bien que si, à un

instant donné, il y ak appels nous pouvons passer que dans deux états adjacents selon nos

hypothèse : k-1 et k+1.

Nous reconnaissons alors une chaîne de Markov (cf. chapitre de Probabilités). La probabilité de

passer d'un état ià un état j pendant un temps dt sera donc notée :

(181)

Nous introduisons alors les probabilités de transition d'état suivantes :

- Etant dans l'état k, la probabilité pour passer à l'état k + 1 durant un intervalle de

temps dt sera notée

- Etant dans l'état k, la probabilité pour passer à l'état k-1 durant un intervalle de

temps dt sera notée

- Etant dans l'état k + 1, la probabilité pour passer à l'état k durant un intervalle de

temps dt sera notée

- Etant dans l'état k - 1, la probabilité pour passer à l'état k durant un intervalle de

temps dt sera notée

(182)

Les grandeurs et sont des taux d'arrivée (apparition) et de départ (fin) d'appels du

même type que ceux utilisés lors des paragraphes précédents. La seule différence tient au fait

que ces taux ont en indice l'état où se trouve le système.

Nous pouvons alors introduire la probabilité d'état, c'est-à-dire la probabilité d'être dans un

état k à un instant t. Notons pour cela cette probabilité (à rapprocher de la

notation utilisée pour les chaînes de Markov à temps discret dans le chapitre de

Probabilités).

La variation de cette probabilité durant un intervalle de temps dt est alors égale à la probabilité

de rejoindre cet état en venant d'un état k-1 ou d'un état k+1 moins la probabilité de quitter

cet état pour aller vers un état k-1 ou vers un état k+1.

Ce qui s'écrit :

(183)

En supposant le système stable, c'est-à-dire en supposant qu'il se stabilise sur des probabilités

d'état fixes lorsque le temps tend vers l'infini, nous pouvons écrire que :

(184)

Nous pouvons alors noter d'où finalement :

(185)

Nous aurions pu introduire cette dernière relation d'une autre manière : Elle exprime

simplement le fait que la probabilité de partir d'un état est égale à celle pour y arriver (c'est

peut-être plus simple ainsi).

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