Notes sur la théorie des files d'attente - 2° partie, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or13 January 2014

Notes sur la théorie des files d'attente - 2° partie, Notes de Management

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Notes de gestion sur la théorie des files d'attente - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation, le système, la relation de Little, la probabilité de mise en attente m/m/k/k (formule d'erla...
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Cette relation est vérifiée pour tout avec les conditions mathématiques suivantes (car

sinon ces termes n'ont aucun sens mathématique) :

(186)

et la condition logique réelle suivante (des appels non encore existants ne peuvent finir...) :

(187)

Remarque: Insistons sur le fait que la stabilité des probabilités signifie qu'il y a une probabilité

égale de quitter l'état que de le rejoindre.

En écrivant le système d'équation précédent, nous trouvons :

(188)

Nous trouvons alors assez facilement la forme générale :

(189)

Le système se trouvant obligatoirement dans un des états nous avons la relation suivante qui

doit obligatoirement être respectée:

(190)

En remplaçant avec la relation antéprécédente :

(191)

Ce qui donne aussi :

(192)

et donc :

(193)

Si nous considérons maintenant un système avec une seule ligne et de capacité infinie (régime

permanent), les grandeurs (taux d'arrivée des appels) et (taux de départ des appels)

auront des valeurs identiques pour tout k. C'est-à-dire que nous considérons que le taux

d'arrivée ainsi que les taux de départ sont constant quelque soit la position dans laquelle on se

trouve dans la file d'attente. Nous avons alors la dernière relation qui se simplifie:

(194)

En utilisant le résultat démontré dans le chapitre sur les Suites Et Séries (série de Gauss) nous

avons sous des conditions précises nécessaires de convergence (A doit être strictement plus

petit que 1):

(195)

Puisque k représente le nombre d'appels, cette dernière relation donne la probabilité d'avoir 0

appels (clients) pour un traffic permament donné A sur la ligne.

En utilisant:

(196)

Nous avons alors en toute généralité pour ce type de système la probabilité d'avoir k appels en

régime permanent qui est donné par:

(197)

Il en vient que l'espérance du nombre de communications (clients) dans le système (dans la

queue + en service) est alors par définition de l'espérance:

(198)

puisque représente la probabilité pour qu'il y ait à tout instant k appels dans le système (file

d'attente + en service). Or, nous avons vu dans le chapitre sur les Suites et Séries que:

(199)

et si q est strictement inférieur à 1 et que n tend vers l'infini, nous avons immédiatement:

(200)

Si nous dérivons cette dernière relation:

(201)

et en multipliant par q il vient alors:

(202)

Il vient alors au final pour l'espérance du nombre de clients dans le système:

(203)

Si nous souhaitons connaître l'espérance du nombre de clients en attente dans la queue

uniquement, il faut bien comprendre qu'à chaque instant nous avons donc une

probabilité qu'il y ait k clients dans le système mais comme 1 parmi ceux-ci est alors

toujours en service (donc hors de la queue d'attente) il reste que nous en avons toujours k-1

réellement en attente. Donc:

(204)

Connaissant le nombre de communications (ou de clients) que nous avons sur l'unique ligne

dans tout le système, nous avons alors l'espérance du temps d'attente (temps d'attente moyen),

notée E(T) qui sera donnée par le rapport de l'espérance du nombre de communications

(clients) en régime permanent sur la ligne E(C) par le taux d'arrivée des appels.

(205)

Ce résultat, appelé "relation de Little" (ce dernier ayant démontré rigoureusement que la

relation est valable pour n'importe quel type de file d'attente), est intuitive dans le cas présent.

Effectivement, prenons un appel type au hasard. Quand il arrive dans le système, il va se

trouver statistiquement face à E(C) entrain d'attendre. Quand il quittera le système, il y aura été

un temps moyen E(T) . Donc pendant ce temps moyen, appels seront arrivés derrière

lui dans le système. En régime permanent, le nombre d'appels laissés derrière lors du départ

doit égaliser le nombre arrivés. D'où l'égalité dont on déduit alors

immédiatement la relation de Little.

Nous avons alors pour l'espérance du temps d'attente dans le système:

(206)

Pour déterminer le temps d'attente dans la queue seule il suffit de soustraire le temps de

traitement/service de par la propriété de linéarité de la moyenne (durée d'appel moyenne en

service):

(207)

Pour résumer, car il y a beaucoup de paramètres et résultats, nous avons donc pour une file

d'attente de typeM/M/1 (selon la notation de Kendall):

Information M/M/1

Probabilité système vide

Probabilité d'attente A

Nombre moyen de clients dans le système

Nombre moyen de clients en attente

Nombre moyen de clients en service

A

Temps moyen de séjour dans le système

Temps moyen d'attente dans la queue

Condition d'atteinte de l'équilibre

Probabilité d'avoir k clients

Tableau: 14 - Résumé des relations importantes d'une file M/M/1

Il faudrait pour chaque type possible de file d'attente faire les démonstrations détaillées des

relations correspondantes ce qui est long et laborieux (c'est un métier/spécialisation à part

entière).

Exemple:

Supposons que l'on dispose d'une machine à commande numérique traitant des pièces une à la

fois. Supposons que (nombre de pièces arrivant en moyenne par heure) et

que (nombre de pièces sortant en moyenne par heure). Nous avons alors:

(208)

ce qui correspond au trafic ou taux d'occupation de la machine. Donc il y a 20% de probabilité

pour que le système soit vide et 80% de probabilité pour qu'il y ait une attente.

(209)

Ce qui correspond donc au nombre moyen de pièces dans le système (machine + en attente).

(210)

Ce qui correspond donc au nombre moyen de pièces en attente en dehors de la machine.

(211)

Ce qui correspond à un temps moyen de séjour de 30 minutes dans le système.

(212)

Ce qui correspond à une attente moyenne de 24 minutes dans la file d'attente.

Et la probabilité qu'il y a ait 5 pièces dans le système (exécution + attente):

(213)

PROBABILITÉ DE MISE EN ATTENTE M/M/k/k (FORMULE D'ERLANG B)

Nous allons nous intéresser ici à un système disposant de N canaux de communication (chaque

canal censé supporter un débit de un appel avec réponse immédiate). Si les N canaux sont

occupés, les appels qui arrivent sont considérés comme perdus (absence de tonalité par

exemple). Nous parlons alors de blocage ou ruine du système. Il s'agit donc d'une file d'attente

limitée de type M/M/k/k selon la notation de Kendall, appelée également "système à perte".

Nous allons chercher à estimer cette probabilité de blocage en fonction du nombre de canaux

disponibles et du trafic.

Compte tenu de ce qui a été énoncé sur le caractère sans mémoire du processus d'arrivée

d'appels, nous pouvons considérer que la probabilité :

(214)

d'avoir k appels à l'état k est indépendante de l'état du système tel que :

(215)

Ainsi, à chaque état k du système la loi de probabilité de type Poisson est valable. La différence

de traitement c'est que plutôt que de considérer des états, nous allons considérer qu'un canal

de communication peut-être considéré comme un état propre.

Pour la probabilité de fin d'appel, nous avons par contre :

(216)

Effectivement, cette probabilité traduit juste que si k appels sont en cours chacun a une

probabilité de se terminer, d'où la somme qui donne . Nous avons alors:

(217)

Ainsi, en injectant ces relations dans :

(218)

il vient :

(219)

En introduisant alors (qui doit être strictement inférieure à 1 si nous voulons que les

développements suivants convergent vers une valeur finie: chaîne de Markov ergodique) :

(220)

qui représente pour rappel le nombre d'appels qui apparaissent sur le nombre d'appels qui se

terminent pendant un intervalle de temps (temps de service moyen), ce qui représente en fait

tout simplement le trafic (ou autrement dit: l'intensité de trafic), il vient alors :

(221)

ou encore en introduisant le 1 dans la sommation :

(222)

Puisque k représente le nombre d'appels, cette dernière relation donne la probabilité d'avoir 0

appels (clients) pour un traffic permament donné A dans le système.

En reportant dans l'expression suivante de (probabilité d'être dans l'état k donc...) obtenue

plus haut:

(223)

il vient:

(224)

et en considérant le caractère sans mémoire nous avons la relation:

(225)

Il vient :

(226)

où les k peuvent malheureusement porter à confusion. Il convient de faire un peu le ménage.

Au numérateur, le kfait référence au nombre de canaux (serveurs, lignes, opérateurs ou

terminaux) et au dénominateur le N aussi. Il convient donc de récrire cela de manière plus

convenable:

(227)

qui donne donc la probabilité de mise en attente (et donc de saturation/blocage) d'un système

disposant de Ncanaux à capacité finie selon le principe du premier/arrivé premier servi (FIFO:

First In/First Out) et pour un traficA (exprimé donc en "Erlang") et dans lequel les

communications sont perdues si mises en attente.

Cette relation est parfois notée dans les ouvrages spécialisés sous la forme:

(228)

Cette relation est très importante en théorie des files d'attentes et porte le nom de "formule

d'Erlang-B".

(229)

Elle est à la base du dimensionnement des réseaux à commutation de cericuits. En effert, le

problème de dimensionnement d'un commutateur de circuits est le suivant: Etant donné le

trafic en nombre de communications par unité de temps A en Erlang, trouver le nombre d'unités

de service k tel que la probabilité qu'un appel arrive dans un système devenu bloquant soitn

inférieur à une certaine valeur.

La probabilité obtenue représente alors la qualité de service offerte par le réseau du point de

vue de l'usage. Quant au trafic A, il est estimé en fonction du nombre de postes téléphoniques

existants et/ou à venir sur la base d'une activité moyenne par poste et par application

(téléphone, télécopieur, terminal, serveur informatique, etc.).

Exemple:

E1. Quelle est la probabilité de saturation d'une hotline (dont la durée de service suit une loi

exponentielle et la distribution des arrivées suit une loi de Poisson) sachant que le trafic A de la

ligne est estimé à 2 Erlang (1 appel par heure pour 1 appel traité par ½ heure - donc rapport de

2 sur 1) pour une seule ligne téléphonique (N=1) en utilisant le modèle d'Erlang-B?:

(230)

E2. Dans une entreprise, on a dénombré aux heures de pointes 200 appels d'une durée

moyenne de 6 minutes à l'heure (temps de service moyen). Quelle est la probabilité de

saturation avec 20 opérateurs (sachant que la durée de service suit une loi exponentielle et la

distribution des arrivées une loi de Poisson)?

La plus grosse difficulté ici est de calculer le trafic! Il y a donc 200 appels par heures avec 10

appels traités seulement par heure (puisque 6 minutes par appel dans une heure de 60 minutes

fait 10 appels). Le trafic A est donc de 200/10 soit 20 Erlang. En appliquant alors la relation

précédente, nous avons:

(231)

Dans l'industrie on admet un taux de saturation de 0.01%. En jouant avec un tableur comme

MS Excel et l'outil Valeur cible, nous trouvons rapidement que N doit alors être égal à 30.

PROBABILITÉ DE MISE EN ATTENTE M/M/k/∞ (FORMULE D'ERLANG C) Considérons maintenant un système pour lequel les appels peuvent être mis en d'attente avant

d'être servis lorsque les k serveurs sont bloqués. Il s'agit donc d'une file d'attente à capacité

illimitée de type M/M/k/∞ selon la notation de Kendall.

Avec ce système, nous avons toujours :

(232)

mais pour la probabilité de fin d'appel l'analyse devient plus subtile. D'abord il y a la probabilité

que les appels qui se trouvent sur les canaux N disponibles cessent et qui est donnée par :

(233)

Mais dès que le nombre d'appels est plus grand que le nombre de canaux de communication

disponible, la probabilité que cessent les appels est :

(234)

Ce qui exprime que quelque soit le nombre d'appels, N ont la probabilité d'être mis en attente

dès que k (le nombre d'appels) est supérieur ou égal à N.

Ainsi, pour résumer :

(235)

En utilisant :

(236)

Nous obtenons par décomposition du terme produit :

(237)

D'où finalement :

(238)

En utilisant l'expression de :

(239)

Nous pouvons décomposer la sommation :

(240)

et décomposer le deuxième produit :

(241)

Sous l'hypothèse que :

(242)

La somme :

(243)

peut être simplifiée. Effectivement, en posant :

(244)

il vient :

(245)

et comme nous l'avons montré lors de notre étude la fonction Zeta (cf. chapitre de Suites Et

Séries) cette somme peut s'écrire sous la forme :

(246)

Donc :

(247)

Donc finalement :

(248)

Puisque k représente le nombre d'appels, cette dernière relation donne la probabilité d'avoir 0

appels (clients) pour un traffic permament donné A dans le système.

Nous avons donc pour :

(249)

La probabilité cumulée de mise en file d'attente se note C(N, A) est elle est égale à :

(250)

en procédant exactement comme dans les paragraphes précédents, nous avons finalement :

(251)

qui donne donc la probabilité de mise en attente (et donc de saturation/blocage - c'est-à-dire

que tous les serveurs sont bloqués) dès l'arrive dans un système disposant de N canaux à

capacité infinie selon le principe du premier/arrivé premier servi (FIFO: First In/First Out) et

pour un trafic A (exprimé donc en "Erlang") et dans lequel les communications peuvent être

mises en attente (à l'opposé du modèle Erlang-B). Cette dernière relation est appelée "formule

d'Erlang C". Traditionnellement on note :

(252)

le "W" venant de l'anglais "Wait" (attendre).

Le modèle proposé ci-dessus est bien évidemment critiquable car en réalité la capacité de la file

d'attente est finie et certains clients abandonnent lorsque l'attente est trop longue.

Exemple:

Si nous prenons un taux d'arrivé de 1 appel par minute et une durée moyenne de service de 5

minutes, nous avons alors:

(253)

Si nous prenons un nombre N de 7 serveurs, nous avons:

(254)

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