Notes sur la théorie des graphes - 2° partie., Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur la théorie des graphes - 2° partie., Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la théorie des graphes - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le graphe orienté valué connexe, Exemple de graphe contenant un cycle, Exemple de forêt (graphe acyclique), E...
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ne peut être retardée sans répercussion sur la durée totale du projet. En d'autres termes, sa

"marge totale" est nulle (nous disons alors aussi que sa date de fin/début au plus tôt est

strictement égale à sa date de fin/début au plus tard). Par ailleurs, nous définissons aussi en

gestion de projets, la "marge libre" qui indique la durée sur laquelle une tâche peut glisser sans

bouger la tâche successeur. La marge libre se calcule comme la différence entre la date de début

au plus tôt d'une tâche sommé de sa durée et la date de début au plus tard de la tâche successeur.

Prenons pour l'exemple un projet qui se compose des tâches suivantes :

TÂCHES TÂCHES ANTÉRIEURES DURÉE

A E 3

B K,C 4

C - 3

D E,J 2

E - 2

F G,L 3

G - 4

H A,M,R 2

J E 2

K C 2

L G 5

M C 4

N G 3

R J 2

Tableau: 27.1 - Ordonnancement de tâches

Le graphe orienté valué connexe correspondant à ce tableau une fois la définition du chemin

critique appliqué est le suivant en utilisant les dates de début :

(27.15)

Nous voyons dans ce graphe que les tâches sont critiques.

Un excellent outil d'utilisation de tels graphes est MS Project dont le diagramme correspondant à

l'exemple ci-dessous est :

D19. Une "composante connexe" d'un graphe G est un sous-graphe connexe

maximal.

Remarque: Un graphe ne possédant qu'une seule composante connexe est simplement un graphe

connexe. Un sommet isolé (de degré 0) constitue toujours une composante connexe à lui seul. La

relation sur les sommets "il existe un chemin entre ..." est une relation d'équivalence (réflexive,

symétrique et transitive). Les composantes connexes d'un graphe correspondent aux classes

d'équivalences de cette relation.

Propriété (triviale) : Un graphe G d'ordre n connexe comporte au moins n-1 arêtes.

D20. Un "cycle" est un chemin simple rebouclant sur lui-même. Un graphe dans lequel il n'existe

aucun cycle possible est dit "acyclique".

Les graphes acycliques non connexes constituent une classe intéressante de graphes, avec des

propriétés remarquables et un nom : les "forêts" (terme très souvent utilisé par les informaticiens

réseaux)

Exemple de graphe contenant un cycle

(27.16)

Exemple de forêt (graphe acyclique)

(27.17)

Exemple d'arbre (forêt connexe)

(27.18)

Nous voyons ainsi qu'une forêt est un graphe dont les composantes sont des arbres. Les sommets

de degré 1 sont appelées "feuilles" d'un arbre.

Propriétés :

P1. (triviale) Si dans un graphe G tout sommet est de degré supérieur ou égal à 2, alors G possède

au moins un cycle.

Remarque: Cette propriété simple implique qu'un graphe sans cycle possède au moins un sommet

de degré 0 ou 1. A l'inverse, nous pouvons lier cette fois l'absence de cycle dans un graphe avec le

nombre d'arêtes.

P2. (triviale) Un graphe acyclique G à n sommets possède au plus n-1 arêtes.

D21. Un "cycle eulérien" est un cycle passant une et une seule fois par chaque arête du graphe et

revenant au point de départ (nous verrons plus loin les propriétés que doit posséder un tel graphe

pour qu'un tel cycle y existe)

D22. Un graphe est dit "graphe eulérien" s'il admet un cycle eulérien.

D23. Un "cycle hamiltonien" est un cycle simple passant par tous les sommets du graphe une et

une seule fois. Pour avoir un cycle hamiltonien, le graphe doit être connexe et il ne doit pas y avoir

de sommets pendant.

D24. Un "graphe hamiltonien" est un graphe qui possède un cycle hamiltonien.

Il convient d'ouvrir maintenant une parenthèse (pour les paillettes...) sur le problème le plus connu

en théorie des graphes : les ponts de Königsberg.

Euler (voir page des biographies), aimait à faire une promenade dans sa bonne ville de Königsberg.

Il affectionnait selon la légende tout particulièrement de parcourir les 7 ponts qui enjambent la

rivière. L'âge venant (les connaissances mathématiques aussi...), il se demanda si sans sacrifier à

sa promenade, il pouvait en raccourcir la longueur en ne parcourant chaque pont qu'une seule

fois. Ce problème est sans doute l'un des plus anciens en théorie des graphes : celui de l'existence

d'une chaîne passant une et une seule fois par chaque arête.

(27.19)

La rivière sépare la ville de Königsberg en quatre parties, a, b, c, d. Un pont relie deux de ces

parties. Nous pouvons alors représenter notre problème par un graphe avec quatre sommets, où

chaque arête représente l'un des sept ponts de Königsberg. Sur cet exemple le graphe n'est pas un

graphe simple :

(27.20)

Comment savoir si un graphe est eulérien ou non ? Si pour notre problème le graphe obtenu est

eulérien, il faut exhiber un cycle eulérien, ce qui ne semble pas facile. Mais s'il ne l'est pas ? Euler a

donné une caractérisation très forte des graphes eulériens donnée par l'énoncé suivant :

Théorème d'Euler : Un graphe est eulérien si et seulement s'il est connexe et tous ses sommets

sont de degré pair (il y a donc un nombre pair d'arêtes qui arrivent sur chaque sommet dont la

moitié d'entre elles servant à arriver sur le sommet, l'autre à en repartir) sauf au plus deux (ces

deux exceptions étant les sommets de départ et d'arrivée).

De façon plus précise :

- le graphe n'a pas de sommets impair, alors il est eulérien (et la chaîne est donc cyclique)

- le graphe ne peut avoir un seul sommet impair de par la propriété (déjà énoncée plus haut) que

dans un graphe, le nombre de sommets de degré impair est toujours pair.

- si le graphe a deux sommets impairs, ces sommets sont alors les extrémités de la chaîne

eulérienne

Corollaire : un graphe ayant plus de deux sommets impairs ne possède pas de chaîne eulérienne.

Avec cette caractérisation (que nous allons démontrer de suite après), les sommets a, b, c, d étant

de degré impair, on sait immédiatement qu'il est impossible de parcourir tous les ponts de

Königsberg seulement une fois au cours d'une promenade.

Démonstration:

1. Supposons qu'un graphe G soit eulérien. Il existe alors une chaîne c parcourant une et une seule

fois chaque arête (jusque là c'est facile). Bien évidemment, dans le cas d'une chaîne, les sommets

se situant aux extrémités de la chaîne sont de degré impair et sont au nombre de deux.

2. Considérons maintenant un sommet x et considérons cette fois-ci un cycle eulérien. Lors du

parcours du cycle, à chaque fois que nous passons par le sommet x, nous sommes au point de

départ et nous pouvons repartir par 2 arêtes non encore parcourues dans le début du nouveau

cycle (le chemin peut-être parcouru dans les deux sens puisque le graph est non orienté). Le

sommet x est donc de degré pair et peut être défini n'importe où dans le cycle, d'où le fait que

l'ensemble des sommets sont de degré pair.

3. Réciproquement considérons un graphe G connexe dont tous les sommets sont de degré pair.

Nous allons montrer par induction sur le nombre d'arêtes que G est alors eulérien :

- Si G se réduit à un unique sommet isolé, il est évidemment eulérien. Sinon tous les sommets

de G sont de degré supérieur ou égal à 2. Ceci implique qu'il existe un cycle sur G :

- Considérons le graphe partiel H constitué des arêtes en dehors du cycle . Les sommets

de H sont également de degré pair, le cycle contenant un nombre pair d'arêtes incidentes pour

chaque sommet. Par induction chaque composante connexe de H est un graphe eulérien, et

admet donc un cycle eulérien . Pour reconstruire un cycle eulérien sur G, il nous suffit de

fusionner le cycle avec les différents cycles . Pour cela nous parcourons le cycle depuis un

sommet arbitraire; lorsque nous rencontrons pour la première fois un sommet x appartenant à

, nous lui substituons le cycle . Le cycle obtenu est un cycle eulérien pourG, le cycle et les

cycles formant une partition des arêtes.

(27.21)

Remarque: Ce principe de décomposer un graphe en graphes connexes et de les sommer permet de

construire un algorithme récursif permettant de déterminer si un graphe est eulérien ou non.

D25. Deux graphes G et G ' sont "graphes complémentaires" lorsqu'ils vérifient les conditions

suivantes :

1. Ils ont le même ensemble de sommets

2. Deux sommets x, y sont voisins dans G ne sont pas voisins dans G '

D26. Un "graphe biparti" est un graphe tel que nous puissions partitionner l'ensemble de ses

sommets en deux classes de sorte que toute arête ait une extrémité dans chacune des deux

classes.

Exemple:

Voici donc une représentation d'un graphe biparti K3,3 classique. Il représente le problème fameux

de l'approvisionnement de trois maisons avec trois usines (eau, électricité, gaz) sans droit

d'alignement des services. Nous voyons immédiatement que ce graph est non-planaire.

Remarque: Le graphe biparti complet est un graphe de sommets de sorte que

chacune des deux classes de cardinaux respectifs p, q de sorte que chaque sommet d'une classe soit

adjacent à tous les sommets de l'autre et seulement à ceux-ci.

D27. Deux graphes sont isomorphes s'il existe une bijection f de X dans X ' telle que, pour tous

sommets x et yde G :

x adjacent à y dans adjacent à f(y) dans G '

Nous disons aussi que f est un "isomorphisme de G sur G ' ".

S'il existe une bijection f de X dans lui-même telle que :

x adjacent à y dans adjacent à f(y) dans G

Nous disons alors que f est un automorphisme dans G (par permutation des sommets il existe

beaucoup d'exemples possibles...).

Remarque: Attention ! Parfois nous parlons de graphes équivalents à "un isomorphisme près". Cela

signifie plus clairement, qu'à l'exception d'une et unique violation parmi l'ensemble des arêtes, les

graphes sont isomorphes.

Comme l'isomorphisme dans le cas des graphes va d'un ensemble à un autre de même cardinal n,

le nombre de bijections possibles différentes est (voir le chapitre de Probabilité sur les

arrangements) :

n! (27.22)

Cela signifie qu'il existe au maximum n! graphes qui peuvent se regrouper dans une même classe

d'équivalence - mais cependant qu'il n'en existe pas une seule (sans que cela en donne le nombre,

nous en connaissons le majorant). En conséquence, il existe au minimum (minorant) le rapport du

nombre total de n sommets sur le cardinal majoré de la plus grande classe d'équivalence possible

(mais pas nécessairement existante) :

(27.23)

En utilisant la majoration grossière , nous avons :

(27.24)

D'où :

(27.25)

Soit encore :

(27.26)

Ainsi, quand n tend vers l'infini, admet un minorant de l'ordre de .

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