Notes sur la théorie des Jauges - 3° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa16 January 2014

Notes sur la théorie des Jauges - 3° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur la théorie des Jauges - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les relations, les exemples, les variations.
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avec (37.161)

Comme nous allons de suite le voir, la partie temporelle de cette équation donne la divergence

du champ électrique et la partie spatiale le rotationnel du champ magnétique.

Remarque: Nous avions déjà rencontré (défini) ce quadrivecteur lors de notre étude de la jauge

de Coulomb plus haut ainsi que lors de notre étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de

Relativité Restreinte).

Effectivement :

(37.162)

De même, les deux équations de Maxwell :

(37.163)

peuvent s'écrire sous la forme condensée tensorielle :

(37.164)

Effectivement :

(37.165)

Finalement toutes les équations de Maxwell, en adoptant les unités naturelles, se résument à :

(37.166)

Nous pouvons aussi utiliser le symbole d'antisymétrie (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) tel que

nous puissions écrire :

(37.167)

avec pour rappel :

Le lagrangien que nous avons déterminé plus haute n'est cependant pas complet.

Effectivement, lorsque nous appliquons le principe variationnel nous avons déjà vu de

nombreuses fois dans les différents chapitres de ce site (mécanique classique, mécanique

ondulatoire, magnétostatique, relativité restreinte, relativité générale, etc.) que nous pouvions

obtenir les équations du mouvement (trajectoires) des sujets (corps) étudiés. Les équations

obtenues contenaient aussi des paramètres qui expliquaient la source de ce mouvement

(propriétés de la matière, vitesse, champ, etc.) comme cela a été le cas avant!

Précédemment, nous avons appliqué le principe variationnel sur le lagrangien d'interaction

charge-champ (magnétique + électrostatique) et avons obtenu l'équation du mouvement

corrigée par la force de Laplace.

Lorsque nous avons déterminé les équations du mouvement de la particule chargée à partir du

principe de moindre action, nous avons fixé le champ électromagnétique (le champ est connu)

et nous avons fait varier la trajectoire. Le principe variationnel, doit alors également nous

permettre d'obtenir les équations du champ à partir de la démarche inverse : nous fixons la

trajectoire de la particule (trajectoire connue) et nous faisons varier le champ

électromagnétique (potentiel et tenseur).

Nous devrions alors obtenir les équations de Maxwell qui, au même titre que l'on obtient ce qui

fait le mouvement de la particule lors l'on fixe le champ dans le principe variationnel, nous

donne l'information sur ce qui est la source du champ électrique et magnétique lorsque l'on

fixe la trajectoire dans le principe variationnel.

L'envie est alors très grande de reprendre simplement l'expression de l'action obtenue plus

haut :

(37.168)

et de lui appliquer une variation sur le champ après un petit changement dans la manière de

l'écrire :

Nous savons que les charges électriques bien qu'elles soient ponctuelles, sont considérées

généralement comme un charge transportée par un courant répartie de façon continue dans

l'espace. Soit cette densité de charge, nous avons alors tel que :

(37.169)

Considérons des charges électriques se déplaçant à la vitesse v et écrivons la quantité suivante

(ne pas oublier que nous continuons à travailler en unités naturelles tel que !) :

(37.170)

avec en unités naturelles :

Ainsi nous avons :

(37.171)

Si nous appliquons le principe variationnel seulement sur le champ (constant en amplitude donc

la source du champ est constante telle que ) et que nous considérons donc le

mouvement des charges connues, il est immédiat que le premier terme ci-dessus est nul. Nous

avons alors :

(37.172)

pour que cette intégrale soit nulle il faudrait que soit nul... ce qui est plutôt gênant si nous

souhaitons déterminer les caractéristique d'une source qui alors n'existerait pas... Dès lors,

nous remarquons qu'il manque quelque chose à notre lagrangien!

L'idée est alors la suivante : nous connaissons une équation tensorielle qui fait intervenir la

densité de courant qui est et qui implicitement contient les deux seules équations

de Maxwell qui donnent des informations sur la source des champs électrique et magnétique

respectifs (les deux autres donnant des propriétés des champs et non pas des sources) soit

(toujours en unités naturelles) :

(37.173)

Il est donc suffisant d'obtenir ces deux équations (donc l'équation tensorielle y relative) suite au

principe variationnel pour avoir les propriétés de la source du champ.

Ce qui signifie simplement que dans l'idéal nous devrions (et attendons à) avoir est :

(37.174)

où l'intégrale s'annule exactement lorsque !

Il est alors tenant d'écrire quelque chose de la forme (remarquez que nous avons abaissé

l'indice du potentiel A et monté celui de la densité de courant j dans la seconde intégrale ce qui

ne change rien mathématiquement parlant au résultat)

(37.175)

Nous pouvons nous aider de la propriété suivante des quantités du lagrangien pour déterminer

l'expression "???" manquante : ils sont tous invariants. En d'autres termes et pour rappel, leur

pseudo-norme (scalaire) est égale par changement de référentiel de Galiléen (cf. chapitre de

relativité Restreinte) telle que :

(37.176)

La première relation est évidente, nous l'avons déjà démontrée de nombreuses fois. La

deuxième l'est peut-être moins alors donnons une petit indication (non générale) pour vérifier

quelle soit correcte : est le produit scalaire de j et de A. Si nous faisons subir la même

(quadri)rotation aux deux vecteurs, puisque les transformations de Lorentz sont des rotations

(cf. chapitre de Relativité Restreinte), l'angle entre j et A reste inchangé et donc le produit

scalaire.

Il nous faut donc ceci dit, trouver la quantité "???" comme étant un scalaire invariant faisant

intervenir le tenseur de Faraday d'une manière ou d'une autre.

Nous pouvons alors essayer directement avec la quantité suivante (sachant d'avance, grâce à

nos précurseurs que c'est la bonne hypothèse) :

(37.177)

faisant intervenir le tenseur covariant et contravariant de Faraday car nous savons

que :

1. C'est un scalaire invariant. Effectivement, écrivons en termes de champs électriques

et magnétiques pour en comprendre la signification physique (en unités naturelles) :

(37.178)

Remarque: Si nous n'étions pas en unités naturelles, le résultat du calcul serait de la forme :

(37.179)

La quantité (ou en unités naturelles) est donc un invariant du champ.

Exemple:

Dans un référentiel O, considérons une onde électromagnétique plane. Les modules du champ

électrique et du champ magnétique sont reliés par (voir plus loin la démonstration).

L'invariant du champ considéré est donc nul. Dans un autre référentiel, avec la même structure

du champ, nous aurons alors aussi .

2. Parce qu'un variationnel sur ce terme donne :

(37.180)

où l'on devine qu'en creusent un peu, contient implicitement le terme . Nous voyons

aussi qu'un facteur 2 apparaît tel qu'il nous faudra introduire une constante de

normalisation , ne serait-ce déjà aussi que pour l'homogénéité des unités de l'expression de

l'action.

Donc finalement essayons avec quelque chose du genre :

(37.181)

A présent, pour chercher les équations du champ électromagnétique, nous considérons que les

mouvements des charges sont connus et nous utilisons le principe de moindre action en faisant

varier seulement les composantes du potentiel-vecteur et celles du tenseur du champ

électromagnétique.

Il en résulte que la variation de la première intégrale est nulle et qu'il reste :

(37.182)

Substituons dans la seconde intégrale, les composantes par leur expression

implicite , il vient :

(37.183)

Or nous savons que est égal à puisque le tenseur de Faraday est antisymétrique :

(37.184)

Rien ne nous empêche de permuter les indices dans le premier membre à droite de

l'égalité :

(37.185)

Donc finalement :

(37.186)

Intéressons nous à la seconde intégrale :

(37.187)

En appliquant le théorème de Fubini (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) qui dit que

l'on peut intégrer selon n'importe quel ordre les variables d'intégration (sous certaines

conditions) on peut alors appliquer l'intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et

Intégral) de manière à écrire :

(37.188)

où dS représente la frontière-surface de l'hyper-volume sur lequel on intégrait initialement

et qui omet la variable prise en considération par le choix de l'indice supérieur v.

Maintenant selon l'indice supérieur v concerné, les bornes du premier terme de l'égalité :

(37.189)

seront sur les composantes de temps ou les composantes d'espace. Si nous nous concentrons

sur les bornes temporelles d'intégration, il s'agit des moments initiaux et finaux de l'action sur

laquelle nous appliquons ce variationnel.

Or aux extrémités temporelles, le variationnel du potentiel vecteur est nul (par définition)

donc l'intégrale sur la composante de temps sera nulle.

Maintenant sur les composantes spatiales, les bornes (spatiales) sont celles qui permettent

d'intégrer la surface-frontière de l'hyper-volume au temps final. Si celui-ci est pris comme

l'infini, le rayon de la surface-frontière sera infini et en tout point de cette surface, l'énergie

transportée par le champ ainsi que l'amplitude des composantes du champ sera nulle (voir

démonstration plus bas).

Donc le variationnel de l'action s'écrit finalement :

(37.190)

Les variations du potentiel-vecteur étant arbitraire, l'intégrale précédente sera nulle si

l'intégrande elle l'est, d'où la relation

(37.191)

ce qui nous amène à :

(37.192)

nous retrouvons donc les deux équations de Maxwell donnant exprimant la source si et

seulement si (en unités naturelle) :

(37.193)

Nous avons donc alors :

(37.194)

Avec finalement pour "lagrangien total de l'interaction charge-champ" en unités naturelles est :

(37.195)

ou avec le système SI :

(37.196)

Remarque: Nous reviendrons sur ce lagrangien avec une autre approche (très intéressante) dans

le chapitre de Physique Quantique Des Champs.

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