Notes sur la théorie moderne des portefeuilles - 1° partie, Notes de Management. Université d'Auvergne (Clermont-Ferrand I)
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or13 January 2014

Notes sur la théorie moderne des portefeuilles - 1° partie, Notes de Management. Université d'Auvergne (Clermont-Ferrand I)

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Notes de gestion sur la théorie moderne des portefeuilles - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définitions, les bons de souscription, Exemple, les contrats à terme, les options, le tableau réca...
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La théorie du marché des valeurs dite aussi "théorie moderne du portefeuille" est la théorie

mathématique qui traite du choix, de la gestion et des opérations des échanges des emprunts,

prêts et capitaux . Elle fait très fortement appel aux modèles statistiques et il est donc

important d'avoir lu et compris le chapitre y relatif sur le site au préalable.

Il faut cependant savoir qu'en pratique, dans les banques, seulement une infime minorité des

acteurs du marché connaissent, comprennent et appliquent des modèles mathématiques et

pour les autres ayant obtenus des certifications ou diplômes de formation continue, le niveau

est affligeant. La gestion financière n'est donc finalement souvent que l'application du bon sens

(quand il est présent...) sur la variation des prix sur les quantités...

Il faut savoir cependant que beaucoup sont pérsuadés que tout est écrit quelque part (croyance

probablement assez ancrée dans la culture occidentale), qu'une sorte de réalité assez abstraite

existe en dehors de notre monde concret et que si nous étions assez malins nous pourrions la

formaliser mathématiquement et prévoir les évolutions futures sur le long terme. Au fait le

scientifique sait lui que nous avons affaire dans ce genre de domaine à un chaos déterministe

du marché et que la seule manière de gérer celui-ci est de corriger au jugé avec une vague idée

de ce qui va se passer. En économie les spécialistes parlent de la "dictature des marchés", mais

c'est reconnaître en un sens que nous ne savons rien prédire! Évidemment, certains, dans les

milieux de la complexité, vendent aux banquiers et à d'autres l'idée qu'ils sauront prédire les

flucturations de la Bourse... mais il suffit d'observer le passé pour voir qu'aucun modèle

moderne n'aurait su le prédire. La seule chose que les mathématiques peuvent faire dans la

gestion financière c'est d'analyser le comportement d'un actif financier idéalisé dans un cadre

qui l'est lui aussi et c'est déjà pas mal et force un peu au bon sens... (pour ceux qui savent faire

de maths ce qui est très loin du cas du 99% des personnes travaillant dans la finance).

En finance, les modèles mathématiques servent donc à mesurer et quantifier le risque des

investissements. À ce titre, ils jouent le rôle d'outils d'aide à la décision pour les gestionnaires

les investisseurs et les régulateurs. Mais, à de rares exceptions près, une banque ou un fonds

d'investissement ne fonde pas une décision majeure d'investissement sur une équation

mathématique. La décision, pour les banques d’investissement est souvent motivée par la

recherche de rentabilités toujours plus grande et pour cela elles ne s'appuient pas sur des

modèles mathématiques. Par ailleurs les personnes dirigeantes des banques sont souvent des

personnes issues du monde de la politique, du droit ou de la gestion d'entreprise avec peu de

compétence pour comprendre réellement le fonctionnement des marchés.

Définitions: La "Bourse" ("Stock Exchange") est le marché public où s'échangent des titres

(actions, obligations, contrats, options, etc.) dont la valeur va fluctuer relativement à la "valeur

fondamentale" (valeur de base calculée selon des modèles théoriques) au gré de l'offre et de la

demande. Lorsqu'un titre est beaucoup demandé, son prix monte, et inversement, lorsque

personne n'en veut.

La Bourse est une structure qui permet :

1. Pour les entreprises qui veulent investir (donc augmenter leur capital) d'obtenir des fonds

afin de satisfaire le demande potentielle.

2. De rendre au plus stable l'économie en la rendant la plus dynamique et fluide possible (mais

sous contrôle quand même...) dans le but qu'elle s'auto-régule.

Le système cité ci-dessus fonctionne si et seultement s'il est transparent, rationnel, efficient,

autorégulant et équilibré!

Remarque: Nous parlons de "bulle spéculative" lorsque les prix observés sur un marché boursier

s'écartent trop de la valeur fondamentale des bien échangés.

Avant de commencer à s'attaquer à la mathématique pure et dure, il va nous falloir au préalable

donner encore une fois un grand nombre de définitions pour s'habituer au vocabulaire usité par

les analystes et ingénieurs financiers (attention c'est relativement long...).

ABSENCE D'OPPORTUNITÉ D'ARBITRAGE

(AOA) L'une des hypothèses fondamentales des modèles financiers usuels est qu'il n'existe aucune

stratégie financière permettant, pour un coût initial nul, d'acquérir une richesse certaine dans

une date future. Cette hypothèse est appelée "absence d'opportunités d'arbitrage" (A.O.A.). Elle

est justifiée théoriquement par l'unicité des prix caractérisant un marché en concurrence pure

et parfaite.

Pratiquement, il existe des arbitrages mais qui disparaissent très rapidement du fait de

l'existence d'arbitragistes, acteurs sur les marchés dont le rôle est de détecter ce type

d'opportunités et d'en profiter. Ceux-ci créent alors une force qui tend à faire évoluer le prix de

l'actif vers son prix de non-arbitrage.

Ainsi, si plusieurs actifs de même risque proposent des rendements différents, les investisseurs

qui recherchent de nouvelles opportunités vont logiquement tourner leurs achats sur ceux dont

le rendement est le plus élevé, ce comportement entraine alors une baisse du rendement de ces

actifs.

Ainsi, les mathématiques financières reposant sur l'A.O.A. laissent ces arbitragistes gagner de

l'argent ainsi et négligent ces apparitions d'opportunité qui de toute façon n'existent toujours

que sur un temps très supposé très bref (ce type de stratégie est mise à profit aujourd'hui avec

l'informatique qui peuvent donner des ordres de vente et d'achat à la milliseconde près).

Un exemple royal pour illustrer ces propos est d'utiliser une version simplifiée du modèle

élaboré par Cox, Ross et Rubinstein car il traduit explicitement le concept de l'A.O.A. et

l'importance des modèles probabilistes.

L'exemple se base sur l'hypothèse que la marché est formé d'un actif risqué et d'un taux de

placement constant r. Par exemple, une somme de un dollar aujourd'hui, placée aux taux r,

engendre un revenu certain et garanti de 1+r dollars au temps 1 quelle que soit l'évolution

future du marché dans l'exemple considéré

Nous commençons à étudier ce marché sur une seule période de temps telle que le temps initial

sera noté et l'instant final (nous appelons une telle situation un "marché

monopériodique). Nous supposons parfaitement connaître le marché à l'instant initial. Dans

notre contexte cela signifie que le prix de l'actif risqué est fixé et l'actif non risqué est

déterminé par son rendement .

Quant à l'actif risqué, sa valeur à n'est pas connue à l'avance. Afin de restreindre le champ

des possibles, nous supposerons que le rendement de cet actif peut prendre que deux

valeurs b (bas) et h (haut) avec:

(1)

Ainsi, l'actif risqué au temps peut prendre que deux valeurs positives. La valeur basse:

(2)

ou la valeur haute:

(3)

d'où l'appellation de "modèle binomial"...

Un investisseur peut ainsi acheter une quantité d'actif risqué et placer une somme au

taux r . La valeur au temps du portefeuille de composition est donc:

(4)

A l'instant final, nous aurons donc:

(5)

Comme nous l'avons expliqué plus haut, peut prendre deux valeurs, il en est donc de même

pour . Ce qui signifie que le revenu de ce portefeuille est incertain.

Maintenant, pour montrer le concept de A.O.A. passons à une application numérique en

considérant la situation particulière où il est plus avantageux, et à coup sûr, d'investir dans

l'actif risqué que le non risqué.

Imaginons pour cela que nous empruntons 100.- à une banque au taux sans risque de 5% et

que l'actif risqué que nous souhaitons acquérir avec cet argent est coté aujourd'hui

à et peut prendre deux valeurs futures:

(6)

Nous avons alors pour notre portefeuille à l'instant initial:

(7)

et à l'instant final deux cas possibles:

(8)

et:

(9)

Nous voyons alors de manière triviale que si il existe alors une opportunité d'arbitrage

puisqu'il devient possible de gagner de l'argent à coup sûr sans en dépenser! Pour éviter une

A.O.A. dans cette situation, il faut donc que le marché s'équilibre et qu'il y ait:

(10)

Inversement, s'il est plus sûr d'investir dans l'actif non risqué que dans l'actif risqué, le marché

doit s'assurer pour éviter toute opportunité d'arbitrage que:

(11)

Ainsi, dans les deux cas, il faut éviter à tout moment que dans le marché binomial nous ayons

une A.O.A. Et cela est seulement possible si:

(12)

PORTEFEUILLES

La majorité des transactions boursières concernent le contenu des "portefeuilles de titres"

(security portfolio) qui sont l'ensemble des titres qu'un acteur du marché peut détenir. Gérer un

portefeuille consiste donc (le plus classiquement...) pour un gestionnaire à chercher un retour

sur investissement (RSI) maximal pour le client tout en minimisant les risques.

Remarque: Le RSI est aussi parfois appelé "rendement" ou "taux de rendement" ou "taux de

profit" et désigne donc un ratio financier qui mesure le montant d'argent gagné ou perdu par

rapport à la somme initialement investie dans un investissement (souvent sur la base d'une

période annuelle). En général, ce ratio est exprimé en pourcentage plutôt qu'en valeur décimale.

Les "titres financiers" (financial security) se dérivent sous la forme d'actions, d'obligations,

d'options de devises et de matières premières tous appelés plus généralement "produits

financiers" ou encore "actifs financiers" et dont les définitions (non exhaustives) seront données

ci-dessous.

Définitions:

D1. Pour mesurer l'évolution générale d'un marché boursier, nous utilisons des "indices"

reflétant la moyenne arithmétique (Down Jones Index par exemple) ou la moyenne pondérée

(Swiss Market Index par exemple) des cours (valeurs) d'un certain nombre de titres

représentatifs. Cela permettant d'en connaître le rendement.

D2. Un "produit dérivé" est un produit/instrument financier, qui s'achète et se vend, et qui est

toujours bâti sur la base d'un titre financier. Ce dernier est alors appelé "actif sous-jacent" du

produit dérivé. Ceux-ci peuvent donc être des actions, des obligations, des devises, ... et même

des produits dérivés... Le danger avec les produits dérivés est, à force de les superposer de ne

plus savoir exactement quels sont les sous-jacents.

D3. La "volatilité" mesure l'amplification de la variation d'un cours. Autrement dit, un titre

financier dont la volatilité est élevée signifie que son cours varie fortement, voire de façon

exagérée sur une période donnée. A l'inverse, un titre dont la volatilité est faible signifie que

son cours varie peu et/ou de manière assez cohérente. La volatilité s'exprime en pourcentage

dans les modèles mathématiques simples (car il en existe plusieurs définitions dont nous

verrons certaines par la suite). Ainsi, la volatilité d'un titre sur une période donnée est définie

par:

(13)

ACTIONS

Définition: Les "actions" sont des papiers-valeurs reconnaissant par contrat des droits de

propriétés sur le capital valeur d'une entité dite "société anonyme". Ce contrat a un prix et il est

échangeable sur le marché.

L'action donne à son propriétaire des droits de différente nature de types tels que les droits

sociaux (droit de vote aux assembléess générales, droit d'élection et d'être élu au conseil

d'administration) ou patrimoniaux (droite de recevoir une part du bénéfice net, sous forme de

"dividende" variable, ou une part du produit de la liquidation de la société si elle tombait en

faillite, ainsi qu'un droit préférentiel d'acheter de nouvelles actions en cas d'augmentation du

capital).

Définition: Il y plusieurs types de "rendement boursier" en fonction du contexte d'une

discussion qui sont pour certaines intuitives et pour d'autres assez complexes. Voici deux des

plus courantes (nous en verrons d'autres par la suite...) à notre connaissance lorsque l'on

aborde pour la première fois les mathématiques financières:

- Il y a le rapport, exprimé en pourcentage et appelé "yield", entre le dividende par action

distribué par une société et le cours de l'action en circulation de cette société au moment du

versement du dividende (certains prennent parfois la moyenne arithmétique des dividendes

versés sur plusieurs périodes):

(14)

- Il y a le rapport, exprimé en numéraire par année et appelé "rentabilité de l'action", de la

différence entre le cours d'achat de l'action majoré par les dividendes et le cours de vente de

l'action de cette société sur le nombre de périodes:

(15)

Si nous divisons le résutat de ce dernier rendement numéraire annuel par le capital initial

investi, nous obtenons le rendement en pourcentage.

Exemple:

Prenons une action remboursable achetée il y a 6 ans au prix de 10.- (capital investi).

L'investisseur la vend à 12.50.- L'investisseur à reçu 3 fois un dividende de 2.20.- plus une fois

un de 1.-. Les deux types de rendements donnent alors respectivement:

(16)

et si nous divisons ce dernier par le capital initial investi (10.-), nous obtenons donc 16.8%.

Remarques:

R1. Nous différencions les "actions au porteur" négociable sans restrictions en Bourse et les

"actions nominatives" dont la valeur doit être négociée avec des restrictions juridiques plus ou

moins complexes car il y figure le nom de l'actionnaire qui doit être inscrit au registre des

actionnaires.

R2. Lorsqu'une société anonyme veut augmenter sont capital-actions, elle peut émettre des

actions supplémentaires. Les nouvelles actions seront proposées aux actionnaires de la société à

un cours fixe et en proportion des actions qu'ils détiennent ("droit de souscription"). Ce qui leur

permettra de maintenir le pourcentage de leur part au capital, ainsi que le poids de leurs droits de

vote.

OBLIGATIONS

Contrairement à l'emprunt individuel (emprunt indivis), l'emprunt dit "emprunt obligataire" fait

appel à de nombreux prêteurs, appelés "souscripteurs", qui reçoivent, en échange de sommes

prêtées, des titres appelés "obligations".

Définition: Les "obligations" sont des papiers-valeurs (titres de créance) établissant par contrat

des droits de créance (capital prêté) et qui rapportent un intérêt fixe au titulaire (elles sont

remboursables à une échéance prévue par le contrat). Ce contrat a un prix (dépendant de la

date!) et il est échangeable sur le marché et le débiteur est obligé de payer le intérêts. Par

ailleurs si l'obligation est "convertible" elle donne droit au créancier d'obtenir le remboursement

de l'obligation, soit sa conversion en actions, suivant des modalités fixées d'avance.

Nous distinguons principalement quatre types d'obligations:

T1. "Obligation à taux fixe" qui est la plus classique des obligations. Elle verse un flux d'intérêt

définitivement fixé lors de son émission selon une périodicité prédéfinie jusqu'à son échéance

(ce qui est sécurisant). Ce n'est cependant pas un investissement sans risque comme nous le

verrons dans un exemple simple plus loin.

T2. "Obligation à taux variable" dont les flux d'intérêt, mais pas le prix de remboursement, sont

indexés sur un taux de référence comme le taux directeur d'une banque centrale, les résultats

d'une entreprise, ou autre. Le risque associé à ce taux variable est appelé "risque de taux".

T3. "Obligation indexée" dont les flux d'intérêt et le prix de remboursement sont indexé sur un

taux de référence qui peuvent être du même type que ceux précités.

T4. "Obligation zéro-coupon" qui ne comportent que deux flux financiers : un flux initial et un

flux final, sans aucun paiement intermédiaire. C'est la moins risquée de toutes les obligations.

Les obligations sont caractérisées par plusieurs propriétés:

P1. Leur "devise" de base qui peut fluctueur sur un marché global.

P2. Leur "date d'échéance" ou "date de maturité" qui permettra en fonction de leur date

d'émission et du type de calendrier (échéancier) de connaître la valeur actualisée de l'obligation

à tout moment.

P3. Leur "valeur nominale", appelé le "pair", désigne la valeur servant au calcul des intérêts.

P4. Leur"taux d'intérêt nominal" associé à la périodicité (souvent annuelle) permet de définir

l'intérêt appelé "coupon" ou "coupon de dividende" appliqué sur la valeur nominale d'une

obligation qui sera versée au souscripteur à la date dite "date de jouissance". Normalement le

mode de calcul du taux d'intérêt doit être communiqué.

P5. Leur "prix d'émission", "prix de souscription", ou encore "prix de remboursement" (en

pourcentage du pair) est le prix réellement payé par le souscripteur pour devenir propriétaire

d'une obligation. L'émission des obligations se fait donc au pair si la valeur nominale est égale

à la somme demandée pour son acquisition. Elle se fait au-dessus du pair si la somme

demandée est supérieure au nominal, la différence étant appelée "prime d'émission".

P6. Leur "prix de remboursement" est la somme réellement versée à l'emprunteur lors du

remboursement de l'obligation à échance. Le remboursement peut être prévu au pair ou parfois

en-dessus à l'échéance (in fine), par tranches, ou jamais (obligation perpétuelles).

Remarque: L'investisseurs doit être particulièrement attentif à l'indication "subordonné" sur son

papier d'obligation, qui signifie qu'en cas de faillite du débiteur (assimilé au "risque de

signature"), le détenteur de l'obligation ne pourra être remboursé qu'après tous les autres

créanciers... Le risque de signature peut être évité en choisissant des obligations (très) sûres

comme les obligations d'état ou de sociétés renommées. Le revers de la médaille est la faiblesse

des taux alors offerts qu'il faut en plus mettre en opposition à l'inflation (sur un taux de 3% sur

dix ans d'une obligation d'état qui subit une inflation de 2% il reste plus que 1% de rénumération

par exemple).

Exemples:

E1. Considérons un emprunt obligatoire de 3'000'000.- divisé en 300 obligations de 10'000.-

nominal émis en juin 2004 pour une durée de 10 ans. Souscription : 99.5% de la valeur au pair.

Remboursement au pair à l'échéance. Intérêt annuel : 4.5%.

Les valeurs définies plus haut s'expriment alors ainsi :

La valeur nominale C de l'obligation est donc de 10'000.-. Le nombre N d'obligations est de

300. La durée n de l'emprunt est de 10 ans et le taux t% de 4.5. Le prix d'émission est le 99.5%

de 10'000.- soit E=9'950.-. Le remboursement R est au pair et vaut donc 10'000.- et le coupon

à une valeur c de 450.-.

E2. Soit une obligation à taux fixe, émise au prix de 1'000.-, et versant un coupon annuel de

100.-. Le taux servi est donc de 100/1'000=10%.

Supposons que les taux du marché passent à 15%. Cela signifie qu'une nouvelle obligation, qui

est émise au prix de 1'000.-, sert un coupon de 150.- (car 150/1'000=15%).

La nouvelle obligation est donc plus intéressante que l'ancienne, et tout le monde va vouloir

vendre l'ancienne pour acheter la nouvelle. C'est pourquoi le prix de l'ancienne obligation va

implictement baisser, jusqu'à ce qu'il corresponde à une rémunération de 15%, soit ici 666

francs. Alors, nous aurons bien 100/666=15%.

De même, si les taux du marché baissent à 5%, cela signifie qu'une nouvelle obligation, qui est

émise au prix de 1'000.-, sert un coupon de 50.- (car 50/1'000=5%).

La nouvelle obligation est donc moins intéressante que l'ancienne, et personne ne voudra

l'acheter. C'est pourquoi le prix de l'ancienne obligation va implicitement monter, jusqu'à ce

qu'il corresponde à une rémunération de 5%, soit ici 2'000.-. Alors, on aura bien

100/2'000=5%.

Ainsi, le prix d'une obligation à taux fixe diminue implicitement lorsque les taux montent, et

monte lorsque les taux baissent. C'est la raison pour laquelle un placement en obligations n'est

pas sans risques: on peut perdre une partie du capital. En fait, la seule stratégie sans risque

consiste à acheter les obligations au moment de l'émission, et à les garder jusqu'à l'échéance.

A tout moment, la valeur actuelle sur le marchée d'une obligation doit donc être égal à la valeur

des coupons et du remboursement auxquels elle donnera encore droit. La valeur actuelle étant

calculée au taux du marché obligataire en vigueur pour des obligations du même type et de

même durée.

Ainsi, la valeur actuelle d'une obligation à taux fixe doit être vue comme un capital initial dont

on retire pendantn périodes restantes une certaine somme fixe , somme correspondant au prix

du coupon:

(17)

avec C la valeur nominale de l'obligation et le tout cumulé étant périodiquement soumis à

l'intérêt du taux du marché constant dans le cadre d'une considération d'un avenir

certain.

Ainsi, la valeur actuelle d'une obligation est dans un premier temps constituée que de la valeur

actuelle des coupons futurs restant pendant n périodes tel que :

(18)

Cette partie du prix de la valeur de l'obligation correspond donc à la somme totale nécessaire

tel que l'on peut solder après avoir retiré n fois (le nombre de périodes restant) la valeur c à

un taux d'intérêt .

Ensuite, l'obligation est constituée de la valeur du remboursement R. Bien que celle-ci soit

remboursée à terme, elle peut être vue comme un capital épargne à un taux correspondant à

celui du marché tel que :

(19)

La valeur actuelle de l'obligation concernant le remboursement est alors :

(20)

ce qui correspond au capital actuel pour obtenir le remboursement R pendant les n périodes

restantes.

Ainsi, le prix total d'une obligation est :

(21)

c'est-à-dire la valeur actuelle des coupons futurs ainsi que la valeur actuelle du remboursement

in fine. Cette relation à son importance en finance, il convient de s'en souvenir!!

La valeur d'une obligation, au sens de son cours en Bourse, peut donc différer de sa valeur

nominale fixée à l'émission si les taux d'intérêts changent sur le marché d'où l'intérêt de

calculer sa valeur actuelle.

Exemple:

Soit à calculer le prix actuel d'un obligation, ayant des coupons annuels de 450.-, avec un

remboursement au pair dans 5 ans de 10'000.-.

La valeur actuelle pour un taux du marché compris entre 0% et 100% à la caractéristique

suivante :

(22)

Evaluer une obligation revient donc à trouver ce qu'elle devrait valoir en principe dans les

conditions actuelles du marché, donc son cours potentiel, par une opération mathématique dite

"opération d'actualisation" déterminant sa valeur actuelle théorique. Il s'agit donc comme nous

le savons déjà de calcul actuariel.

L'obligataire aura évidemment pour objectif de chercher le taux du marché qui permet de faire

de son investissement une action rentable. Ainsi, nous définissons le " taux de rendement

actuariel" (TRA) x comme étant l'intérêt du marché qui permet de satisfaire les relations

suivantes, en fonction de la durée restante à courir n de l'obligation.

Ainsi, à l'émission :

(23)

ou à une date quelconque :

(24)

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